Question Number 160445 by HongKing last updated on 29/Nov/21
$$\mathrm{Find}: \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\:\centerdot\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}\:\centerdot\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}}}}{\mathrm{2}}\:\centerdot\:…\:=\:? \\ $$
Commented by HongKing last updated on 29/Nov/21
$$\mathrm{Yes}\:\mathrm{my}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{Sir}\:\mathrm{but}\:\mathrm{how}\:\mathrm{please} \\ $$
Commented by mr W last updated on 30/Nov/21
$$=\frac{\mathrm{2}}{\pi} \\ $$
Answered by mr W last updated on 30/Nov/21
$${a}_{\mathrm{1}} =\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}=\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$${a}_{\mathrm{2}} =\frac{\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}=\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}} \\ $$$$… \\ $$$${a}_{{n}} =\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{a}_{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$\mathrm{2}{a}_{{n}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}={a}_{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$$${say}\:{a}_{{n}} =\mathrm{cos}\:\theta_{{n}} \\ $$$$\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \:\theta_{{n}} −\mathrm{1}=\mathrm{cos}\:\theta_{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta_{{n}} =\mathrm{cos}\:\theta_{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{2}\theta_{{n}} =\theta_{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\theta_{{n}} =\frac{\theta_{{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}=\frac{\theta_{{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }=…=\frac{\theta_{\mathrm{1}} }{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{cos}\:\theta_{\mathrm{1}} =\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\:\Rightarrow\theta_{\mathrm{1}} =\frac{\pi}{\mathrm{4}}=\frac{\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\theta_{{n}} =\frac{\theta_{\mathrm{1}} }{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }=\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$${a}_{{n}} =\mathrm{cos}\:\theta_{{n}} =\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} …{a}_{{n}} =\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }…\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\mathrm{2sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\left({a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} …{a}_{{n}} \right)=\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }…\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\left({a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} …{a}_{{n}} \right)=\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }…\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$…… \\ $$$$\mathrm{2}^{{n}} \mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }\left({a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} …{a}_{{n}} \right)=\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}=\mathrm{1} \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} …{a}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{2}^{{n}} \:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }} \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} …{a}_{{n}} =\frac{\mathrm{2}}{\pi}×\frac{\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }}{\:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }} \\ $$$${LHS}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left({a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} …{a}_{{n}} \right)=\frac{\mathrm{2}}{\:\pi} \\ $$
Commented by HongKing last updated on 29/Nov/21
$$\mathrm{Perfecy}\:\mathrm{my}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{Sir}\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{so}\:\mathrm{much} \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 30/Nov/21
$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\ $$