Question Number 99094 by bemath last updated on 18/Jun/20
$$\mathrm{find}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:\:}]{\mathrm{9}+\mathrm{9}\sqrt[{\mathrm{3}\:\:}]{\mathrm{9}+\mathrm{9}\sqrt[{\mathrm{3}\:\:}]{\mathrm{9}+\mathrm{9}\sqrt[{\mathrm{3}\:\:}]{\mathrm{9}+…}}}}− \\ $$$$\sqrt{\mathrm{8}−\sqrt{\mathrm{8}−\sqrt{\mathrm{8}+\sqrt{\mathrm{8}−\sqrt{\mathrm{8}−\sqrt{\mathrm{8}−\sqrt{\mathrm{8}−\sqrt{}}}}…}}}}\: \\ $$
Answered by bobhans last updated on 18/Jun/20
$$\mathrm{y}\:=\:\sqrt[{\mathrm{3}\:\:}]{\mathrm{9}+\mathrm{9y}}\:\Rightarrow\mathrm{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{9y}−\mathrm{9}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{8}−\sqrt{\mathrm{8}−\sqrt{\mathrm{8}+\mathrm{x}}}}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}−\mathrm{17}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{9}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{9}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{y}\:=\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{9}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{9}\: \\ $$$$\mathrm{then}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{9}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{9}\:−\left(\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{9}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{9}\:\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$