Find-A-and-prove-that-2021-A-if-abcd-A-a-d-1-c-b-c-a-b-b-c-

Question Number 150571 by mathdanisur last updated on 13/Aug/21

$$\mathrm{Find}\:\boldsymbol{\mathrm{A}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{2021}\in\boldsymbol{\mathrm{A}}\:\mathrm{if} \\ $$$$\overline {\mathrm{abcd}}\in\boldsymbol{\mathrm{A}},\:\:\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{d}\:+\:\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{c}\:-\:\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\:=\:\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}}{\mathrm{b}\:+\:\mathrm{c}} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 15/Aug/21

abcd^(−) ∈A; (a/(d + 1)) = ((c - b)/c) = ((a + b)/(b + c));A=? 0≤a,b,c,d≤9; a,c≠0 ((c - b)/c) = ((a + b)/(b + c))⇒ (c−b)c+b)=c(a+b) c^2 −b^2 −ac−bc=0 c^2 −c(a+b)−b^2 =0..........A D=(a+b)^2 −4(−b^2 ) =a^2 +5b^2 −2ab a^2 −2a+5⇒a=1 (a/(d + 1)) = ((c - b)/c)⇒ d=((ac)/(c−b))−1.......................B b=0:^• (c−0)(c+0)=c(a+0)⇒c=a d=(a^2 /(a−0))−1=a−1=c−1 a=c=u, the required numbers will be: determinant ((a,b,c,( d)),(u,0,u,(u−1))) u∈{1,2,3,...,9} 1010,2021,3032,4043,5054,6065,7076,8087,9098 b=1:^• c^2 −c(a+1)−1^2 =0 c^2 −c(a+1)−1=0 b=2:^• c^2 −c(a+2)−2^2 =0 b=3:^• c^2 −c(a+3)−3^2 =0 b=4:^• c^2 −c(a+4)−4^2 =0 b=5:^• c^2 −c(a+5)−5^2 =0 b=6:^• c^2 −c(a+6)−6^2 =0 b=7:^• c^2 −c(a+7)−7^2 =0 b=8:^• c^2 −c(a+8)−8^2 =0 b=9:^• c^2 −c(a+9)−9^2 =0

$$\overline {\mathrm{abcd}}\in\boldsymbol{\mathrm{A}};\:\:\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{d}\:+\:\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{c}\:-\:\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\:=\:\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}}{\mathrm{b}\:+\:\mathrm{c}};\mathrm{A}=? \\ $$$$\mathrm{0}\leqslant{a},{b},{c},{d}\leqslant\mathrm{9};\:{a},{c}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{c}\:-\:\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\:=\:\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}}{\mathrm{b}\:+\:\mathrm{c}}\Rightarrow \\ $$$$\left.\:\:\:\:\left({c}−{b}\right){c}+{b}\right)={c}\left({a}+{b}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:{c}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} −{ac}−{bc}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:{c}^{\mathrm{2}} −{c}\left({a}+{b}\right)−{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}……….{A} \\ $$$$\:\:\:\:{D}=\left({a}+{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(−{b}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:={a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{ab} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{a}+\mathrm{5}\Rightarrow{a}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{d}\:+\:\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{c}\:-\:\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\Rightarrow \\ $$$$\:\:\:\:\:{d}=\frac{{ac}}{{c}−{b}}−\mathrm{1}…………………..{B} \\ $$$${b}=\mathrm{0}:\:^{\bullet} \left({c}−\mathrm{0}\right)\left({c}+\mathrm{0}\right)={c}\left({a}+\mathrm{0}\right)\Rightarrow{c}={a} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{d}=\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{{a}−\mathrm{0}}−\mathrm{1}={a}−\mathrm{1}={c}−\mathrm{1} \\ $$$$\:{a}={c}={u},\:{the}\:{required}\:{numbers}\:{will}\:{be}: \\ $$$$\:\begin{array}{|c|c|}{{a}}&\hline{{b}}&\hline{{c}}&\hline{\:\:\:\:{d}}\\{{u}}&\hline{\mathrm{0}}&\hline{{u}}&\hline{{u}−\mathrm{1}}\\\hline\end{array} \\ $$$${u}\in\left\{\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},…,\mathrm{9}\right\} \\ $$$$\mathrm{1010},\mathrm{2021},\mathrm{3032},\mathrm{4043},\mathrm{5054},\mathrm{6065},\mathrm{7076},\mathrm{8087},\mathrm{9098} \\ $$$${b}=\mathrm{1}:\:^{\bullet} {c}^{\mathrm{2}} −{c}\left({a}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:{c}^{\mathrm{2}} −{c}\left({a}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${b}=\mathrm{2}:\:^{\bullet} {c}^{\mathrm{2}} −{c}\left({a}+\mathrm{2}\right)−\mathrm{2}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$${b}=\mathrm{3}:\:^{\bullet} {c}^{\mathrm{2}} −{c}\left({a}+\mathrm{3}\right)−\mathrm{3}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$${b}=\mathrm{4}:\:^{\bullet} {c}^{\mathrm{2}} −{c}\left({a}+\mathrm{4}\right)−\mathrm{4}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$${b}=\mathrm{5}:\:^{\bullet} {c}^{\mathrm{2}} −{c}\left({a}+\mathrm{5}\right)−\mathrm{5}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$${b}=\mathrm{6}:\:^{\bullet} {c}^{\mathrm{2}} −{c}\left({a}+\mathrm{6}\right)−\mathrm{6}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$${b}=\mathrm{7}:\:^{\bullet} {c}^{\mathrm{2}} −{c}\left({a}+\mathrm{7}\right)−\mathrm{7}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$${b}=\mathrm{8}:\:^{\bullet} {c}^{\mathrm{2}} −{c}\left({a}+\mathrm{8}\right)−\mathrm{8}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$${b}=\mathrm{9}:\:^{\bullet} {c}^{\mathrm{2}} −{c}\left({a}+\mathrm{9}\right)−\mathrm{9}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 14/Aug/21

abcd^(−) ∈A, (a/(d + 1)) = ((c - b)/c) = ((a + b)/(b + c));A=? 0≤a,b,c,d≤9;a,c≠0 determinant (((b=0)))(a/(d+1))=((c−0)/c)=((a+0)/(0+c)) a=d+1 ∧ a=c a=u(say),b=0,c=a=u,d=a−1=u−1 (a/u)(b/0)(c/u)(d/( u-1)); u=1,2,3,...,9 1010,2021,3032,4043,5054,6065, 7076,8087,9098 b=1: (a/(d + 1)) = ((c - b)/c) = ((a + b)/(b + c)) ⇒ (a/(d + 1)) = ((c - 1)/c) = ((a + 1)/(1+ c)) a=((c^2 −1)/c)−1 c divides c^2 −1 only in case c=1 a=((1^2 −1)/1)−1=−1(×) Case b=1 form no numbers b=2: (a/(d + 1)) = ((c - b)/c) = ((a + b)/(b + c)) (a/(d + 1)) = ((c - 2)/c) = ((a + 2)/(2 + c)) a=((c^2 - 4)/c) −2⇒c=4⇒a=1 (a/(d + 1)) = ((c - b)/c)⇒(1/(d+1))=((4−2)/4)=(1/2)⇒d=1 1241 b=3: ((c - b)/c)=((a + b)/(b + c))⇒((c - 3)/c)=((a + 3)/(3 + c)) a=((c^2 −9)/c)−3⇒c=9⇒a=5 d=((ac)/(c−b))−1=((45)/(9−3))−1 b=4: ((c - b)/c)=((a + b)/(b + c))⇒((c−4)/c)=((a+4)/(c+4)) a=((c^2 −16)/c)−4⇒c=8⇒a=2 d=((ac)/(c−b))−1=((16)/(8−4))−1=3⇒d=3 2483 ..... ...

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 14/Aug/21

abcd^(−) ∈A, (a/(d + 1)) = ((c - b)/c) = ((a + b)/(b + c));A=? 0≤abcd≤9; c≠0,a≠0(∵ abcd^(−) is 4-digit nmbr) ((c - b)/c) = ((a + b)/(c + b)) c^2 −b^2 =ac+bc b^2 +bc+ac−c^2 =0...........(i) D=c^2 −4(ac−c^2 ) D =5c^2 −4ac (must be perfect square)....(ii) (a/(d + 1)) = ((c - b)/c)⇒((d+1)/a)=(c/(c−b)) ⇒d=((ac)/(c−b))−1.................(iii) c=1:(iii)⇒D=5−4a_((perfect square)) ⇒a=1 (i)⇒b^2 +b(1)+(1)(1)−(1)^2 =0 b(b+1)=0⇒b=0 ∨ b=−1(rejected) (iii)⇒d=(((1)(1))/(1−0))−1=0⇒d=0 abcd^(−) =1010 c=2:(ii)⇒D=5(2)^2 −4a(2)=20−8a⇒a=2 (i)⇒b^2 +b(2)+(2)(2)−(2)^2 =0 b(b+2)=0⇒b=0∨b=−2(rejected) (iii)⇒d=(((2)(2))/(2−0))−1⇒d=1 abcd^(−) =2021 c=3:D=5(3)^2 −4a(3)=45−12a⇒a=3 (i)⇒b^2 +bc+ac−c^2 =0 b^2 +b(3)+(3)(3)−(3)^2 =0 b(b+3)=0⇒b=0∨b=−3(rejected) (iii)⇒d=(((3)(3))/(3−0))−1⇒d=2 abcd^(−) =3032 c=4:D=5c^2 −4ac=5(4)^2 −4a(4) =80−16a⇒a=1,4,5 a=1: b^2 +b(4)+(1)(4)−(4)^2 =0 b^2 +4b−12=0⇒(b+6)(b−2)=0⇒b=2 d=((ac)/(c−b))−1=((4×1)/(4−2))−1⇒d=1 abcd^(−) =1241 a=4 b^2 +b(4)+(4)(4)−(4)^2 =0 b(b+4)=0⇒b=0 d=((4×4)/(4−0))−1=3⇒d=3 abcd^(−) =4043 a=5 b^2 +b(4)+(5)(4)−(4)^2 =0 b^2 +4b+4=0 (b+2)^2 =0⇒b=−2(rejected) Rejected case c=5:D =5c^2 −4ac=5(5)^2 −4a(5) =125−20a⇒a=5 b^2 +bc+ac−c^2 =0 b^2 +5b+25−25=0 b(b+5)=0⇒b=0,−5 (×) d=((ac)/(c−b))−1=((25)/(5−0))−1=4⇒d=4 abcd^(−) =5054 c=6:D =5c^2 −4ac=5(6)^2 −4a(6) =180−24a⇒a=6 b^2 +bc+ac−c^2 =0 b^2 +6b+36−36=0⇒b(b+6)=0⇒b=0,−6(×) od=((ac)/(c−b))−1=((36)/(6−0))−1⇒d=5 abcd^(−) =6065 c=7:D =5c^2 −4ac=5(7)^2 −4a(7) =245−28a⇒a=7 b^2 +bc+ac−c^2 =0 b^2 +7b+49−49=0⇒b(b+7)=0 b=0,−7(×) d=((ac)/(c−b))−1=((49)/(7−0))−1=6⇒d=6 abcd^(−) =7076 c=8:D =5c^2 −4ac=5(8)^2 −4a(8) =320−32a⇒a=2,8 a=2: b^2 +bc+ac−c^2 =0⇒b^2 +8b+16−64=0 b^2 +8b−48=0⇒(b+12)(b−4)=0⇒b=4,−12(×) d=((ac)/(c−b))−1=((16)/(8−4))−1=3⇒d=3 abcd^(−) =2483 a=8 b^2 +bc+ac−c^2 =0⇒b^2 +8b+64−64=0 b(b+8)=0⇒b=0,−8(×) d=((ac)/(c−b))−1⇒((64)/(8−0))−1=7⇒d=7 abcd^(−) =8087 c=9: D =5c^2 −4ac=5(9)^2 −4a(9)=405−36a ⇒a=5,9 a=5:b^2 +bc+ac−c^2 =0⇒b^2 +9b+45−81=0 b^2 +9b−36=0⇒(b+12)(b−3)=0⇒b=3,−12(×) d=((ac)/(c−b))−1=((45)/(9−3))−1(×) a=9:b^2 +bc+ac−c^2 =0⇒b^2 +9b+81−81=0 ⇒b(b+9)=0⇒b=0,−9(×) d=((ac)/(c−b))−1=((81)/(9−0))−1=8⇒d=8 abcd^(−) =9098

$$\overline {\mathrm{abcd}}\in\boldsymbol{\mathrm{A}},\:\:\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{d}\:+\:\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{c}\:-\:\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\:=\:\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}}{\mathrm{b}\:+\:\mathrm{c}};\boldsymbol{\mathrm{A}}=? \\ $$$$\mathrm{0}\leqslant\mathrm{abcd}\leqslant\mathrm{9};\:\mathrm{c}\neq\mathrm{0},\mathrm{a}\neq\mathrm{0}\left(\because\:\overline {\mathrm{abcd}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{4}-\mathrm{digit}\:\mathrm{nmbr}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{c}\:-\:\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\:=\:\frac{\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}}{\mathrm{c}\:+\:\mathrm{b}} \\ $$$$\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{ac}+\mathrm{bc} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}+\mathrm{ac}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}………..\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{D}=\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{ac}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:\mathrm{D}\:=\mathrm{5c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac}\:\left(\mathrm{must}\:\mathrm{be}\:\mathrm{perfect}\:\mathrm{square}\right)….\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\:\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{d}\:+\:\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{c}\:-\:\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\Rightarrow\frac{\mathrm{d}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}−\mathrm{b}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}=\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{c}−\mathrm{b}}−\mathrm{1}……………..\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{1}:\left(\mathrm{iii}\right)\Rightarrow\underset{\left(\mathrm{perfect}\:\mathrm{square}\right)} {\mathrm{D}=\mathrm{5}−\mathrm{4a}}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{b}\left(\mathrm{b}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{0}\:\vee\:\mathrm{b}=−\mathrm{1}\left(\mathrm{rejected}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)\Rightarrow\mathrm{d}=\frac{\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{0}}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{0} \\ $$$$\overline {\mathrm{abcd}}=\mathrm{1010} \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{2}:\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow\mathrm{D}=\mathrm{5}\left(\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{20}−\mathrm{8a}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{2}\right)+\left(\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}\right)−\left(\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{b}\left(\mathrm{b}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{0}\vee\mathrm{b}=−\mathrm{2}\left(\mathrm{rejected}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)\Rightarrow\mathrm{d}=\frac{\left(\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}−\mathrm{0}}−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{1} \\ $$$$\overline {\mathrm{abcd}}=\mathrm{2021} \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{3}:\mathrm{D}=\mathrm{5}\left(\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}\left(\mathrm{3}\right)=\mathrm{45}−\mathrm{12a}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{3} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}+\mathrm{ac}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{3}\right)+\left(\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{3}\right)−\left(\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{b}\left(\mathrm{b}+\mathrm{3}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{0}\vee\mathrm{b}=−\mathrm{3}\left(\mathrm{rejected}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)\Rightarrow\mathrm{d}=\frac{\left(\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{3}−\mathrm{0}}−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{2} \\ $$$$\overline {\mathrm{abcd}}=\mathrm{3032} \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{4}:\mathrm{D}=\mathrm{5c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac}=\mathrm{5}\left(\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{80}−\mathrm{16a}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{1},\mathrm{4},\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}=\mathrm{1}: \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{4}\right)+\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4}\right)−\left(\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4b}−\mathrm{12}=\mathrm{0}\Rightarrow\left(\mathrm{b}+\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{d}=\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{c}−\mathrm{b}}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{4}×\mathrm{1}}{\mathrm{4}−\mathrm{2}}−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{1} \\ $$$$\overline {\mathrm{abcd}}=\mathrm{1241} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{a}=\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{4}\right)+\left(\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{4}\right)−\left(\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{b}\left(\mathrm{b}+\mathrm{4}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{d}=\frac{\mathrm{4}×\mathrm{4}}{\mathrm{4}−\mathrm{0}}−\mathrm{1}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{3} \\ $$$$\overline {\mathrm{abcd}}=\mathrm{4043} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{a}=\mathrm{5}\:\:\:\: \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{4}\right)+\left(\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{4}\right)−\left(\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4b}+\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{b}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}=−\mathrm{2}\left(\mathrm{rejected}\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{Rejected}\:\mathrm{case} \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{5}:\mathrm{D}\:=\mathrm{5c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac}=\mathrm{5}\left(\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}\left(\mathrm{5}\right) \\ $$$$=\mathrm{125}−\mathrm{20a}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}+\mathrm{ac}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5b}+\mathrm{25}−\mathrm{25}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{b}\left(\mathrm{b}+\mathrm{5}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{0},−\mathrm{5}\:\left(×\right) \\ $$$$\mathrm{d}=\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{c}−\mathrm{b}}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{5}−\mathrm{0}}−\mathrm{1}=\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{4} \\ $$$$\overline {\mathrm{abcd}}=\mathrm{5054} \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{6}:\mathrm{D}\:=\mathrm{5c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac}=\mathrm{5}\left(\mathrm{6}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}\left(\mathrm{6}\right) \\ $$$$=\mathrm{180}−\mathrm{24a}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}+\mathrm{ac}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6b}+\mathrm{36}−\mathrm{36}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}\left(\mathrm{b}+\mathrm{6}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{0},−\mathrm{6}\left(×\right) \\ $$$${o}\mathrm{d}=\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{c}−\mathrm{b}}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{6}−\mathrm{0}}−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{5} \\ $$$$\overline {\mathrm{abcd}}=\mathrm{6065} \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{7}:\mathrm{D}\:=\mathrm{5c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac}=\mathrm{5}\left(\mathrm{7}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}\left(\mathrm{7}\right) \\ $$$$=\mathrm{245}−\mathrm{28a}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}+\mathrm{ac}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7b}+\mathrm{49}−\mathrm{49}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}\left(\mathrm{b}+\mathrm{7}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{b}=\mathrm{0},−\mathrm{7}\left(×\right) \\ $$$$\mathrm{d}=\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{c}−\mathrm{b}}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{7}−\mathrm{0}}−\mathrm{1}=\mathrm{6}\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{6} \\ $$$$\overline {\mathrm{abcd}}=\mathrm{7076} \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{8}:\mathrm{D}\:=\mathrm{5c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac}=\mathrm{5}\left(\mathrm{8}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}\left(\mathrm{8}\right) \\ $$$$=\mathrm{320}−\mathrm{32a}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{2},\mathrm{8} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}=\mathrm{2}: \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}+\mathrm{ac}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8b}+\mathrm{16}−\mathrm{64}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8b}−\mathrm{48}=\mathrm{0}\Rightarrow\left(\mathrm{b}+\mathrm{12}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{4}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{4},−\mathrm{12}\left(×\right) \\ $$$$\mathrm{d}=\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{c}−\mathrm{b}}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{8}−\mathrm{4}}−\mathrm{1}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{3} \\ $$$$\overline {\mathrm{abcd}}=\mathrm{2483} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}+\mathrm{ac}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8b}+\mathrm{64}−\mathrm{64}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{b}\left(\mathrm{b}+\mathrm{8}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{0},−\mathrm{8}\left(×\right) \\ $$$$\mathrm{d}=\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{c}−\mathrm{b}}−\mathrm{1}\Rightarrow\frac{\mathrm{64}}{\mathrm{8}−\mathrm{0}}−\mathrm{1}=\mathrm{7}\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{7} \\ $$$$\overline {\mathrm{abcd}}=\mathrm{8087} \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{9}:\:\mathrm{D}\:=\mathrm{5c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac}=\mathrm{5}\left(\mathrm{9}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}\left(\mathrm{9}\right)=\mathrm{405}−\mathrm{36a} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{5},\mathrm{9} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}=\mathrm{5}:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}+\mathrm{ac}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9b}+\mathrm{45}−\mathrm{81}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9b}−\mathrm{36}=\mathrm{0}\Rightarrow\left(\mathrm{b}+\mathrm{12}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{3}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{3},−\mathrm{12}\left(×\right) \\ $$$$\mathrm{d}=\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{c}−\mathrm{b}}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{9}−\mathrm{3}}−\mathrm{1}\left(×\right) \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{9}:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}+\mathrm{ac}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9b}+\mathrm{81}−\mathrm{81}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{b}\left(\mathrm{b}+\mathrm{9}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{0},−\mathrm{9}\left(×\right) \\ $$$$\mathrm{d}=\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{c}−\mathrm{b}}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{9}−\mathrm{0}}−\mathrm{1}=\mathrm{8}\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{8} \\ $$$$\overline {\mathrm{abcd}}=\mathrm{9098} \\ $$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 14/Aug/21

1010,2021,3032,1241,4043,5054, 6065,7076,2483,8087,9098 (11 solutions)

$$\mathrm{1010},\mathrm{2021},\mathrm{3032},\mathrm{1241},\mathrm{4043},\mathrm{5054}, \\ $$$$\mathrm{6065},\mathrm{7076},\mathrm{2483},\mathrm{8087},\mathrm{9098} \\ $$$$\left(\mathrm{11}\:\mathrm{solutions}\right) \\ $$

Commented by mathdanisur last updated on 14/Aug/21

$$\mathrm{Cool}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er}\:\mathrm{thankyou} \\ $$

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