Question Number 150034 by mathdanisur last updated on 08/Aug/21
$$\mathrm{Find}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\:\mathrm{closed}\:\mathrm{form}:\:\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\in\mathbb{R}\:\:\mathrm{and}\:\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\Omega\left(\mathrm{a}\right)=\underset{\:\mathrm{0}} {\overset{\:\infty} {\int}}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}^{\mathrm{4}} \right)}\:\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Aug/21
$$\Psi=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\Psi=_{\mathrm{ax}=\mathrm{t}} \:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{4}} \left(\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{a}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{5}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt} \\ $$$$\left(\mathrm{we}\:\mathrm{suppose}\:\mathrm{a}>\mathrm{0}\:\:\mathrm{because}\:\Omega\left(−\mathrm{a}\right)=\Omega\left(\mathrm{a}\right)\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \:\Psi=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}\:\:\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{on}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{ia}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{ia}\right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{i}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{ia}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{ia}\right)\left(\mathrm{z}−\sqrt{\mathrm{i}}\right)\left(\mathrm{z}+\sqrt{\mathrm{i}}\right)\left(\mathrm{z}−\sqrt{−\mathrm{i}}\right)\left(\mathrm{z}+\sqrt{−\mathrm{i}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{ia}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{ia}\right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\left\{\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{ia}\right)+\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)+\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\right\} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{ia}\right)=\frac{\left(\mathrm{ia}\right)^{\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{2ia}\right)\left(\left(\mathrm{ia}\right)^{\mathrm{4}\:} +\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{2ia}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{4}} \right)} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)=\frac{−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{i}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(\mathrm{2i}\right)}\:=\frac{−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} }{\mathrm{4i}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{i}\right)} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\:=\frac{−\mathrm{1}}{\left(−\mathrm{i}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(−\mathrm{2e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(−\mathrm{2i}\right)}=\frac{−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} }{\mathrm{4i}\left(−\mathrm{i}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} }{\mathrm{4i}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{i}\right)}…..\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 09/Aug/21
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{Ser} \\ $$