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find-a-maclaurine-series-solution-to-the-differential-equation-up-to-the-term-in-x-4-dy-dx-x-xy-if-y-1-when-x-0-

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Question Number 88235 by Rio Michael last updated on 09/Apr/20
find a maclaurine series solution to the differential equation up to the term in x^4 . (dy/dx) − x = xy if y = 1 when x = 0.
$$\:\mathrm{find}\:\mathrm{a}\:\mathrm{maclaurine}\:\mathrm{series}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{differential}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\mathrm{up}\:\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{term}\:\mathrm{in}\:{x}^{\mathrm{4}} . \\ $$$$\:\frac{{dy}}{{dx}}\:−\:{x}\:=\:{xy}\:\:\:\mathrm{if}\:\:{y}\:=\:\mathrm{1}\:\mathrm{when}\:{x}\:=\:\mathrm{0}. \\ $$
Commented by niroj last updated on 11/Apr/20
(dy/dx)−x= xy if y=1 when x=0. by the help of linear diff..equ^n will be.. (dy/dx) −x−xy=0 (dy/dx)−xy=x P= −x & Q= x IF= e^(∫Pdx) = e^(−(x^2 /2)) y×IF= ∫IF ×Qdx +C y.e^(−(x^2 /2)) = ∫ e^(−(x^2 /2)) .xdx+C put x^2 =t 2xdx=dt xdx=(dt/2) y.e^(−(x^2 /2)) = ∫ e^(−(t/2)) .(dt/2)+C y.e^(− (x^2 /2)) =(1/2) ∫e^(−(t/2)) dt+C ye^(−(x^2 /2)) = (1/2). (e^(−(t/2)) /(−(1/2)))+C ye^(−(x^2 /2)) = −.e^(−(x^2 /2)) +C ye^(−(x^2 /2)) +e^(− (x^2 /2)) =C if y=1 and x=0 1.e^(−(0/2)) +e^((−0)/2) =C C=1.1+1=2 ∴ ye^(−(x^2 /2)) +e^(−(x^2 /2)) =2 ((y+1)/e^(x^2 /2) )=2 y= 2e^(x^2 /2) −1 //.
$$\:\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}−\mathrm{x}=\:\mathrm{xy}\:\:\:\mathrm{if}\:\mathrm{y}=\mathrm{1}\:\mathrm{when}\:\mathrm{x}=\mathrm{0}. \\ $$$$\:\mathrm{by}\:\mathrm{the}\:\mathrm{help}\:\mathrm{of}\:\mathrm{linear}\:\mathrm{diff}..\mathrm{equ}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{will}\:\mathrm{be}.. \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:−\mathrm{x}−\mathrm{xy}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}−\mathrm{xy}=\mathrm{x} \\ $$$$\:\mathrm{P}=\:−\mathrm{x}\:\:\&\:\mathrm{Q}=\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\mathrm{IF}=\:\mathrm{e}^{\int\mathrm{Pdx}} =\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:\mathrm{y}×\mathrm{IF}=\:\int\mathrm{IF}\:×\mathrm{Qdx}\:+\mathrm{C} \\ $$$$\:\:\mathrm{y}.\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} =\:\int\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} .\mathrm{xdx}+\mathrm{C} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{put}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{t} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2xdx}=\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{xdx}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{y}.\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} =\:\int\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}} .\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{2}}+\mathrm{C} \\ $$$$\:\mathrm{y}.\mathrm{e}^{−\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}} \mathrm{dt}+\mathrm{C} \\ $$$$\:\mathrm{ye}^{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} =\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\:\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}} }{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\mathrm{C} \\ $$$$\:\mathrm{ye}^{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} =\:−.\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} +\mathrm{C} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{ye}^{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} +\mathrm{e}^{−\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} =\mathrm{C} \\ $$$$\:\:\mathrm{if}\:\mathrm{y}=\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{1}.\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{2}}} +\mathrm{e}^{\frac{−\mathrm{0}}{\mathrm{2}}} =\mathrm{C} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{C}=\mathrm{1}.\mathrm{1}+\mathrm{1}=\mathrm{2} \\ $$$$\:\therefore\:\:\mathrm{ye}^{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} +\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} =\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{y}+\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} }=\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{y}=\:\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} −\mathrm{1}\://. \\ $$

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