Question Number 152757 by EDWIN88 last updated on 01/Sep/21
$${Find}\:{all}\:{complex}\:{number}\:{z}\:{such} \\ $$$${that}\:\left(\mathrm{3}{z}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4}{z}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{6}{z}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{12}{z}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$
Answered by john_santu last updated on 01/Sep/21
$${note}\:{that}\:\mathrm{8}\left(\mathrm{3}{z}+\mathrm{1}\right)\mathrm{6}\left(\mathrm{4}{z}+\mathrm{1}\right)\mathrm{4}\left(\mathrm{6}{z}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}\left(\mathrm{12}{z}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{768} \\ $$$$\left(\mathrm{24}{z}+\mathrm{8}\right)\left(\mathrm{24}{z}+\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{24}{z}+\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{24}{z}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{768} \\ $$$${let}\:{u}=\mathrm{24}{z}+\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\left({u}+\mathrm{3}\right)\left({u}+\mathrm{1}\right)\left({u}−\mathrm{1}\right)\left({u}−\mathrm{3}\right)=\mathrm{768} \\ $$$$\Rightarrow\left({u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left({u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}\right)=\mathrm{768} \\ $$$${i}.{e}\:{w}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}{w}−\mathrm{759}=\mathrm{0}\:,\:{w}={u}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\rightarrow\begin{cases}{{w}_{\mathrm{1}} =\mathrm{33}\Rightarrow{z}=\frac{\pm\sqrt{\mathrm{33}}−\mathrm{5}}{\mathrm{24}}}\\{{w}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{23}\Rightarrow{z}=\frac{\pm\sqrt{\mathrm{23}{i}}−\mathrm{5}}{\mathrm{24}}}\end{cases} \\ $$