Question Number 64533 by naka3546 last updated on 19/Jul/19
$${Find}\:\:{all}\:\:{solutions}\:\:{of}\:\:{x}\:\:{real}\:\:{numbers}\:\:{such}\:\:{that} \\ $$$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{7}{x}\:+\:\mathrm{6}\:\:=\:\:\mathrm{15}\:\lfloor\frac{\mathrm{1}}{{x}}\rfloor\lfloor{x}\rfloor \\ $$
Answered by MJS last updated on 19/Jul/19
$${x}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\lfloor\frac{\mathrm{1}}{{x}}\rfloor\:\mathrm{not}\:\mathrm{defined} \\ $$$$ \\ $$$${x}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution} \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{0}<{x}<\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\lfloor{x}\rfloor=\mathrm{0}\right)\vee\left({x}>\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\lfloor\frac{\mathrm{1}}{{x}}\rfloor=\mathrm{0}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{6}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\vee{x}=\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$${x}<\mathrm{0} \\ $$$$\lfloor\frac{\mathrm{1}}{{x}}\rfloor\lfloor{x}\rfloor={f}\left({x}\right) \\ $$$$ \\ $$$$−\mathrm{1}<{x}<\mathrm{0} \\ $$$${n}\in\mathbb{N}\wedge{n}\geqslant\mathrm{2}:\:{f}\left(−\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}<{x}\leqslant−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)={n} \\ $$$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{6}=\mathrm{15}{n}\:\wedge\:{x}<\mathrm{0} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}−\frac{\sqrt{\mathrm{120}{n}+\mathrm{1}}}{\mathrm{4}} \\ $$$$−\mathrm{1}<{x}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}<{n}<\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{no}\:{n}\:\mathrm{exists} \\ $$$$ \\ $$$${x}\leqslant−\mathrm{1} \\ $$$${n}\in\mathbb{N}^{\bigstar} :\:{f}\left(−{n}\leqslant{x}<−{n}+\mathrm{1}\right)={n} \\ $$$$\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{6}=\mathrm{15}{n}\:\wedge\:{x}<\mathrm{0} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}−\frac{\sqrt{\mathrm{120}{n}+\mathrm{1}}}{\mathrm{4}} \\ $$$${x}\leqslant−\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{n}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$−{n}\leqslant\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}−\frac{\sqrt{\mathrm{120}{n}+\mathrm{1}}}{\mathrm{4}}<−{n}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{4}{n}+\mathrm{3}<\sqrt{\mathrm{120}{n}+\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{4}{n}+\mathrm{7} \\ $$$$\left(\mathrm{4}{n}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} <\mathrm{120}{n}+\mathrm{1}\leqslant\left(\mathrm{4}{n}+\mathrm{7}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}<\mathrm{0}\leqslant{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{n}+\mathrm{3} \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{1}\leqslant{n}\leqslant\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{0}\leqslant{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{n}+\mathrm{3}\:\Rightarrow\:{n}=\mathrm{1}\vee{n}\geqslant\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\:{n}=\mathrm{1}\vee\mathrm{3}\leqslant{n}\leqslant\mathrm{5} \\ $$$$ \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}−\frac{\sqrt{\mathrm{120}{n}+\mathrm{1}}}{\mathrm{4}} \\ $$$${n}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:−\mathrm{1}\leqslant{x}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=−\mathrm{1} \\ $$$${n}=\mathrm{3}\:\Rightarrow\:−\mathrm{3}\leqslant{x}<−\mathrm{2}\:\Rightarrow\:{x}=−\mathrm{3} \\ $$$${n}=\mathrm{4}\:\Rightarrow\:−\mathrm{4}\leqslant{x}<−\mathrm{3}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}−\frac{\sqrt{\mathrm{481}}}{\mathrm{4}} \\ $$$${n}=\mathrm{5}\:\Rightarrow\:−\mathrm{5}\leqslant{x}<−\mathrm{4}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}−\frac{\sqrt{\mathrm{601}}}{\mathrm{4}} \\ $$