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Find-all-the-integers-which-are-equal-to-11-times-the-sum-of-their-digits-




Question Number 18385 by Tinkutara last updated on 19/Jul/17
Find all the integers which are equal to  11 times the sum of their digits.
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{integers}\:\mathrm{which}\:\mathrm{are}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to} \\ $$$$\mathrm{11}\:\mathrm{times}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{their}\:\mathrm{digits}. \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 19/Jul/17
let′s see if such a number can have only  one digit:  sum of digits≥1  11 times sum of digits≥11  but a number with one digit is ≤9  ⇒the requested number must have  at least 2 digits.    let′s see if such a number can have 4  or more digits:  sum of digits≤4×9=36  11 times sum of digits≤11×36=396  but a number with 4 digits is ≥1000  ⇒the requested number must have  less than 4 digits.    case 1: number with 2 digits  let′s say it is ab  10a+b=11(a+b)  10b+a=0  ⇒no solution    case 2: number with 3 digits  let′s say it is abc  100a+10b+c=11(a+b+c)  89a=10c+b  the only solution is:  a=1  c=8  b=9    ⇒there is only one such number  it is 198
$$\mathrm{let}'\mathrm{s}\:\mathrm{see}\:\mathrm{if}\:\mathrm{such}\:\mathrm{a}\:\mathrm{number}\:\mathrm{can}\:\mathrm{have}\:\mathrm{only} \\ $$$$\mathrm{one}\:\mathrm{digit}: \\ $$$$\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{digits}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{11}\:\mathrm{times}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{digits}\geqslant\mathrm{11} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{a}\:\mathrm{number}\:\mathrm{with}\:\mathrm{one}\:\mathrm{digit}\:\mathrm{is}\:\leqslant\mathrm{9} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{the}\:\mathrm{requested}\:\mathrm{number}\:\mathrm{must}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{at}\:\mathrm{least}\:\mathrm{2}\:\mathrm{digits}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{let}'\mathrm{s}\:\mathrm{see}\:\mathrm{if}\:\mathrm{such}\:\mathrm{a}\:\mathrm{number}\:\mathrm{can}\:\mathrm{have}\:\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{or}\:\mathrm{more}\:\mathrm{digits}: \\ $$$$\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{digits}\leqslant\mathrm{4}×\mathrm{9}=\mathrm{36} \\ $$$$\mathrm{11}\:\mathrm{times}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{digits}\leqslant\mathrm{11}×\mathrm{36}=\mathrm{396} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{a}\:\mathrm{number}\:\mathrm{with}\:\mathrm{4}\:\mathrm{digits}\:\mathrm{is}\:\geqslant\mathrm{1000} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{the}\:\mathrm{requested}\:\mathrm{number}\:\mathrm{must}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{less}\:\mathrm{than}\:\mathrm{4}\:\mathrm{digits}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{1}:\:\mathrm{number}\:\mathrm{with}\:\mathrm{2}\:\mathrm{digits} \\ $$$$\mathrm{let}'\mathrm{s}\:\mathrm{say}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{ab} \\ $$$$\mathrm{10a}+\mathrm{b}=\mathrm{11}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right) \\ $$$$\mathrm{10b}+\mathrm{a}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{no}\:\mathrm{solution} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{2}:\:\mathrm{number}\:\mathrm{with}\:\mathrm{3}\:\mathrm{digits} \\ $$$$\mathrm{let}'\mathrm{s}\:\mathrm{say}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{abc} \\ $$$$\mathrm{100a}+\mathrm{10b}+\mathrm{c}=\mathrm{11}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right) \\ $$$$\mathrm{89a}=\mathrm{10c}+\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{only}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}: \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{b}=\mathrm{9} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{only}\:\mathrm{one}\:\mathrm{such}\:\mathrm{number} \\ $$$$\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{198} \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 20/Jul/17
Thanks Sir!
$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{Sir}! \\ $$

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