Question Number 144213 by Mathspace last updated on 23/Jun/21
$${find}\:\int\:\:\frac{{dx}}{\mathrm{1}+{cosx}+{cos}\left(\mathrm{2}{x}\right)} \\ $$
Answered by bemath last updated on 23/Jun/21
$$\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\:\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} \\ $$$$=\:\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\:=\:\mathrm{u}\:\Rightarrow\mathrm{du}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{dx}=\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{du}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{du} \\ $$$$=\int\:\frac{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }}{\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\right)\left(\frac{\mathrm{3}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\right)}\:\mathrm{du} \\ $$$$=\:\int\:\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{3}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \right)}\:\mathrm{du}\: \\ $$$$\mathrm{partial}\:\mathrm{fraction}\: \\ $$$$\frac{\mathrm{2}+\mathrm{2u}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{u}\right)\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{u}\right)}\:= \\ $$$$\:\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{1}−\mathrm{u}}+\frac{\mathrm{c}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{u}}+\frac{\mathrm{d}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{u}} \\ $$