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find-dx-x-n-x-1-m-m-and-n-integr-

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Question Number 95586 by turbo msup by abdo last updated on 26/May/20
find ∫ (dx/(x^n (x+1)^m )) m and n integr
$${find}\:\int\:\:\frac{{dx}}{{x}^{{n}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{{m}} }\:\: \\ $$$${m}\:{and}\:{n}\:{integr} \\ $$
Commented by Tony Lin last updated on 26/May/20
let u=(x/(x+1)), dx=(x+1)^2 du x=(u/(1−u)) ∫(1/(((u/(1−u)))^n ((1/(1−u)))^(m−2) ))du =∫(((1−(x/(x+1)))^(n+m−2) )/(((x/(x+1)))^n ))d((x/(x+1))) =C_(n−1) ^(n+m−2) (−1)^(n−1) ln∣(x/(x+1))∣ +Σ_(k=0) ^(n−2) C_k ^(n+m−2) (−1)^(k+1) (1/((n+k−1)((x/(x+1)))^(u+k−1) )) +Σ_(k=0) ^(m−2) C_(n+k) ^(n+m−2) (−1)^(n+k) ((((x/(x+1)))^(k+1) )/(k+1)) +c
$${let}\:{u}=\frac{{x}}{{x}+\mathrm{1}},\:{dx}=\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} {du} \\ $$$${x}=\frac{{u}}{\mathrm{1}−{u}}\: \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{\left(\frac{{u}}{\mathrm{1}−{u}}\right)^{{n}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{u}}\right)^{{m}−\mathrm{2}} }{du} \\ $$$$=\int\frac{\left(\mathrm{1}−\frac{{x}}{{x}+\mathrm{1}}\right)^{{n}+{m}−\mathrm{2}} }{\left(\frac{{x}}{{x}+\mathrm{1}}\right)^{{n}} }{d}\left(\frac{{x}}{{x}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$={C}_{{n}−\mathrm{1}} ^{{n}+{m}−\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} {ln}\mid\frac{{x}}{{x}+\mathrm{1}}\mid \\ $$$$+\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{2}} {\sum}}{C}_{{k}} ^{{n}+{m}−\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}\right)^{{k}+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\left({n}+{k}−\mathrm{1}\right)\left(\frac{{x}}{{x}+\mathrm{1}}\right)^{{u}+{k}−\mathrm{1}} } \\ $$$$+\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{m}−\mathrm{2}} {\sum}}{C}_{{n}+{k}} ^{{n}+{m}−\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+{k}} \frac{\left(\frac{{x}}{{x}+\mathrm{1}}\right)^{{k}+\mathrm{1}} }{{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$+{c} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 26/May/20
I =∫ (dx/(x^n (x+1)^m )) ⇒ I =∫ (dx/(((x/(x+1)))^n (x+1)^(m+n) )) we do the changement (x/(x+1)) =t ⇒x =tx +t ⇒(1−t)x =t ⇒x =(t/(1−t)) ⇒(dx/dt) =((1−t−t(−1))/((1−t)^2 )) =(1/((1−t)^2 )) and x+1 =(t/(1−t))+1=(1/(1−t)) I = ∫ (dt/((1−t)^2 t^n ((1/(1−t)))^(m+n) )) =∫ (((1−t)^(m+n) )/((1−t)^2 t^n ))dt =∫ (((1−t)^(m+n−2) )/t^n ) dt =(−1)^(m+n−2) ∫ (((t−1)^(m+n−2) )/t^n )dt =(−1)^(m+n−2) ∫ ((Σ_(k=0) ^(m+n−2) C_(m+n−2) ^k t^k )/t^n )dt =(−1)^(m+n−2) Σ_(k=0) ^(m+n−2) C_(m+n−2) ^k ∫ t^(k−n) dt =(−1)^(m+n−2) Σ_(k=0 and k≠n−1) ^(m+n−2) C_(m+n−2) ^k (1/(k−n+1)) t^(k−n+1) +(−1)^(m+n−2) C_(m+n−2) ^(n−1) ln∣t∣ +C ⇒I =(−1)^(m+n−2) Σ_(k=0 and k≠n−1) ^(m+n−2) C_(m+n−2) ^k (1/(k−n+1))((x/(x+1)))^(k−n+1) +(−1)^(m+n−2) C_(m+n−2) ^(n−1) ln∣(x/(x+1))∣ +C
$$\mathrm{I}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}} }\:\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}+\mathrm{n}} } \\ $$$$\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:=\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\mathrm{tx}\:+\mathrm{t}\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{x}\:=\mathrm{t} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\:=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\:=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}−\mathrm{t}\left(−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}+\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\:\int\:\:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{t}^{\mathrm{n}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{m}+\mathrm{n}} }\:=\int\:\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{m}+\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\int\:\:\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} }\:\mathrm{dt}\:\:=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\int\:\:\frac{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\int\:\frac{\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} ^{\mathrm{k}} \:\int\:\mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{n}} \mathrm{dt} \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{k}\neq\mathrm{n}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} ^{\mathrm{k}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}−\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\mid\mathrm{t}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{I}\:=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{k}\neq\mathrm{n}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} ^{\mathrm{k}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}−\mathrm{n}+\mathrm{1}}\left(\frac{\mathrm{x}}{{x}+\mathrm{1}}\right)^{{k}−{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$+\left(−\mathrm{1}\right)^{{m}+{n}−\mathrm{2}} \:{C}_{\mathrm{m}+\mathrm{n}−\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$

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