Question Number 156463 by MathSh last updated on 11/Oct/21
$$\mathrm{Find}: \\ $$$$\mathrm{f}\::\:\mathbb{N}^{\ast} \:\rightarrow\:\mathbb{N}^{\ast} \:\:;\:\:\:\mathrm{2}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:+\:\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)\right)\:=\:\mathrm{x} \\ $$$$\forall\mathrm{x}\in\mathbb{N}^{\ast} \\ $$
Answered by FongXD last updated on 11/Oct/21
$$\mathrm{Given}:\:\mathrm{2}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)\right)=\mathrm{x}\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{replace}\:\mathrm{y}\:\mathrm{with}\:\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}\:\mathrm{with}\:\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}:\:\mathrm{2}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{y}\:\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\&\left(\mathrm{2}\right),\:\Rightarrow\:\mathrm{x}=\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{substituting}\:\mathrm{y}=\mathrm{x}\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}:\:\mathrm{2}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\:=\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{so}.\:\begin{array}{|c|}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}}\\\hline\end{array} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 11/Oct/21
$$\mathrm{But}\:\mathrm{f}:\mathbb{N}^{\ast} \rightarrow\mathbb{N}^{\ast} \\ $$$$\mathrm{Here}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\in\mathbb{N}^{\ast} ,\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\in\mathbb{Q} \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{think}\:\mathrm{there}'\mathrm{s}\:\mathrm{a}\:\mathrm{problem}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{question}. \\ $$
Commented by MathSh last updated on 12/Oct/21
$$\mathrm{Yes}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er} \\ $$