Question Number 111503 by Aina Samuel Temidayo last updated on 04/Sep/20
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{four}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{n}\:\mathrm{satisfying} \\ $$$$\mathrm{1}\leqslant\mathrm{n}\leqslant\mathrm{2000}\:\mathrm{and}\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{mod}\:\mathrm{1024}\right) \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 04/Sep/20
$$\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{mod}\:\mathrm{1024}\right)\Leftrightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} =\mathrm{k}.\mathrm{2}^{\mathrm{10}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{n}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{k}.\mathrm{2}^{\mathrm{10}} =\mathrm{2}^{\mathrm{10}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{10}} −\mathrm{k}\right)\left(\mathrm{k}\in\mathbb{N}^{\ast} \right) \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{32}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{10}} −\mathrm{k}.\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{32m}\left(\mathrm{m}\in\mathbb{N}^{\ast} \right) \\ $$$$\mathrm{1}<\mathrm{n}\leqslant\mathrm{2000}\Rightarrow\mathrm{32m}<\mathrm{2000}\Rightarrow\mathrm{1}\leqslant\mathrm{m}\leqslant\mathrm{62} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{m}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{\mathrm{32m}−\mathrm{10}} −\mathrm{k}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{32},\mathrm{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{22}} −\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{64},\mathrm{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{54}} −\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{96},\mathrm{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{86}} −\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{128},\mathrm{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{118}} −\mathrm{16} \\ $$$$\mathrm{Thus}\:,\mathrm{we}\:\mathrm{found}\:\mathrm{four}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{n} \\ $$$$\mathrm{satisfying}\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{mod}\:\mathrm{1024}\right)\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{n}\in\left\{\mathrm{32},\mathrm{64},\mathrm{96},\mathrm{128}\right\} \\ $$
Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 04/Sep/20
$$\mathrm{Thanks}. \\ $$