Question Number 151246 by mathmax by abdo last updated on 19/Aug/21
$$\mathrm{find}\:\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{cosx}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{and}\:\mathrm{J}=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sinx}\right)\mathrm{dx} \\ $$
Answered by qaz last updated on 19/Aug/21
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{4}} \mathrm{lnsin}\:\mathrm{xdx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \mathrm{lnsin}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \mathrm{ln}\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{xtan}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \mathrm{ln2dx} \\ $$$$=−\frac{\pi}{\mathrm{8}}\mathrm{ln2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \mathrm{lntan}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{dx}−\frac{\pi}{\mathrm{8}}\mathrm{ln2} \\ $$$$=−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{ln2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{4}} \mathrm{lntan}\:\mathrm{xdx} \\ $$$$=−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{ln2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{ln2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{2n}} \mathrm{lnxdx} \\ $$$$=−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{ln2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{ln2}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{G} \\ $$$$−−−−−−−−−−−−−−− \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{4}} \mathrm{lncos}\:\mathrm{xdx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{4}} \mathrm{lnsin}\:\mathrm{xdx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{4}} \mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{4}} \mathrm{ln}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{2}} \mathrm{lnsin}\:\mathrm{xdx} \\ $$$$=−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln2} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{4}} \mathrm{lncos}\:\mathrm{xdx}=−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln2}−\left(−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{ln2}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{G}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{G}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{ln2} \\ $$
Commented by peter frank last updated on 19/Aug/21
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$