Question Number 36397 by prof Abdo imad last updated on 01/Jun/18
$${find}\:{I}\:\:=\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\frac{{dx}}{{x}\sqrt{{x}+\mathrm{1}}\:\:+\left({x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{{x}}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by behi83417@gmail.com last updated on 01/Jun/18
$${x}={tg}^{\mathrm{2}} {t}\Rightarrow{dx}=\mathrm{2}{tgt}\left(\mathrm{1}+{tg}^{\mathrm{2}} {t}\right){dt} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{cos}^{\mathrm{2}} {t}}=\mathrm{1}+{x}\Rightarrow{cost}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}}} \\ $$$${I}=\int\frac{\mathrm{2}{tgt}\left(\mathrm{1}+{tg}^{\mathrm{2}} {t}\right){dt}}{{tg}^{\mathrm{2}} {t}.\frac{\mathrm{1}}{{cost}}+\frac{\mathrm{1}}{{cos}^{\mathrm{2}} {t}}.{tgt}}=\int\frac{\mathrm{2}{tgt}\left(\mathrm{1}+{tg}^{\mathrm{2}} {t}\right){dt}}{\frac{{sin}^{\mathrm{2}} {t}+{sint}}{{cos}^{\mathrm{3}} {t}}}= \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{2}{sintdt}}{{sin}^{\mathrm{2}} {t}+{sint}}=\int\frac{\mathrm{2}{dt}}{\mathrm{1}+{sint}}=\frac{−\mathrm{4}}{\mathrm{1}+{tg}\frac{{t}}{\mathrm{2}}}+{c} \\ $$$${tg}\frac{{t}}{\mathrm{2}}=\sqrt{\frac{\mathrm{1}−{cost}}{\mathrm{1}+{cost}}}=\sqrt{\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}}}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}}}}}= \\ $$$$=\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{x}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}}+\mathrm{1}}}=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{\mathrm{1}+{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{x}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{x}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}} \\ $$$$\Rightarrow{I}=\frac{−\mathrm{4}}{\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{1}+{x}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}}}+{c}=\frac{−\mathrm{4}\sqrt{{x}}}{\:\sqrt{{x}}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}}−\mathrm{1}}+{c} \\ $$$${I}={F}\left(\mathrm{2}\right)−{F}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}= \\ $$$$=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{6}}+\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}+\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{5}\right).\blacksquare \\ $$$$\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{6}}\right)}×\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{6}}}×\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}= \\ $$$$=−\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{6}}\right)= \\ $$$$=−\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{6}}+\mathrm{2}\right)=−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{6}}−\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 01/Jun/18
$$\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}}\:×\sqrt{{x}+\mathrm{1}}\:\left(\sqrt{{x}+\mathrm{1}}\:+\sqrt{{x}}\:\right)} \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \frac{\sqrt{{x}+\mathrm{1}_{\:\:} }\:−\sqrt{{x}}}{\:\sqrt{{x}+\mathrm{1}}\:×\sqrt{{x}}}{dx} \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}}\:}−\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}\: \\ $$$$=\mid\frac{\sqrt{{x}}\:}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}−\frac{\sqrt{{x}+\mathrm{1}}\:}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\mid_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{2}\left\{\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:−\sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{1}}\right)−\left(\sqrt{\mathrm{1}}\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right\}\right. \\ $$$$\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:−\sqrt{\left.\mathrm{3}\right)}\:−\left(\sqrt{\mathrm{1}}\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{2}\left(−\sqrt{\mathrm{3}}\:\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{1}\right) \\ $$