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find-interms-of-n-the-sum-k-0-n-k-2-C-n-k-

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Question Number 33074 by prof Abdo imad last updated on 10/Apr/18
find interms of n the sum Σ_(k=0) ^n k^2 C_n ^k
$${find}\:{interms}\:{of}\:{n}\:\:{the}\:{sum}\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:{k}^{\mathrm{2}} \:\:{C}_{{n}} ^{{k}} \\ $$
Commented by abdo imad last updated on 10/Apr/18
let consider the polynom p(x)= Σ_(k=0) ^n C_n ^k x^k we know that p(x)= (x+1)^n ⇒p^′ (x)=n(x+1)^(n−1) ⇒ p^(′′) (x) =n(n−1)(x+1)^(n−2) from another side p^′ (x)= Σ_(k=1) ^n k C_n ^k x^(k−1) and p^(′′) (x) = Σ_(k=2) ^n k(k−1) C_n ^k x^(k−2) = Σ_(k=2) ^n k^2 C_n ^k x^(k−2) −Σ_(k=2) ^n k C_n ^k x^(k−2) ⇒Σ_(k=2) ^n k^2 C_n ^k x^(k−2) = p^(′′) (x) + Σ_(k=2) ^n k C_n ^k x^(k−2) x=1⇒ Σ_(k=2) ^n k^2 C_n ^k =p^(′′) (1) + Σ_(k=2) ^n k C_n ^k =n(n−1) 2^(n−2) +n 2^(n−1) −1 ⇒ Σ_(k=1) ^n k^2 C_n ^k = n(n−1)2^(n−2) +n 2^(n−1) . =(n^2 −n) 2^(n−2) + 2n 2^(n−2) =(n^2 +n) 2^(n−2) . Σ_(k=1) ^n k^2 C_n ^k = (n^2 +n) 2^(n−2) .
$${let}\:{consider}\:{the}\:{polynom}\:{p}\left({x}\right)=\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\:{C}_{{n}} ^{{k}} \:\:{x}^{{k}} \\ $$$${we}\:{know}\:{that}\:{p}\left({x}\right)=\:\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}} \:\:\Rightarrow{p}^{'} \left({x}\right)={n}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \Rightarrow \\ $$$${p}^{''} \left({x}\right)\:={n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{2}} \:\:{from}\:{another}\:{side} \\ $$$${p}^{'} \left({x}\right)=\:\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{k}\:{C}_{{n}} ^{{k}} \:\:{x}^{{k}−\mathrm{1}} \:\:{and} \\ $$$${p}^{''} \left({x}\right)\:=\:\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:{k}\left({k}−\mathrm{1}\right)\:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{x}^{{k}−\mathrm{2}} \:\:=\:\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:{k}^{\mathrm{2}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{x}^{{k}−\mathrm{2}} \:\:−\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} {k}\:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{x}^{{k}−\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:{k}^{\mathrm{2}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{x}^{{k}−\mathrm{2}} =\:{p}^{''} \left({x}\right)\:+\:\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:{k}\:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{x}^{{k}−\mathrm{2}} \\ $$$${x}=\mathrm{1}\Rightarrow\:\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:{k}^{\mathrm{2}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \:\:={p}^{''} \left(\mathrm{1}\right)\:+\:\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:{k}\:{C}_{{n}} ^{{k}} \\ $$$$={n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \:\:+{n}\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\:{k}^{\mathrm{2}} \:\:{C}_{{n}} ^{{k}} \:\:\:=\:{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \:\:\:+{n}\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:\:. \\ $$$$=\left({n}^{\mathrm{2}} −{n}\right)\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \:\:+\:\mathrm{2}{n}\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \:\:=\left({n}^{\mathrm{2}} \:+{n}\right)\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \:\:. \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\:{k}^{\mathrm{2}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \:\:=\:\left({n}^{\mathrm{2}} \:+{n}\right)\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \:\:\:. \\ $$
Answered by sma3l2996 last updated on 10/Apr/18
Σ_(k=0) ^n k^2 ^n C_k =?? k^2 ^n C_k =k×k^n C_k =k×n^(n−1) C_(k−1) so Σ_(k=0) ^n k^2 ^n C_k =nΣ_(k=1) ^n k ^(n−1) C_(k−1) let l=k−1 Σ_(k=1) ^n k ^(n−1) C_(k−1) =Σ_(l=0) ^(n−1) (l+1)^(n−1) C_l =Σ_(l=0) ^(n−1) l ^(n−1) C_l +Σ_(l=0) ^(n−1) ^(n−1) C_l we already knew that Σ_(k=0) ^n ^n C_k =2^n and Σ_(l=0) ^n l ^n C_l =2^(n−1) n (check Q 33072) So Σ_(k=0) ^n k^2 ^n C_k =n(Σ_(k=0) ^(n−1) k ^(n−1) C_k +Σ_(k=0) ^(n−1) ^(n−1) C_k ) =n(2^(n−2) (n−1)+2^(n−1) ) Σ_(k=0) ^n k^2 ^n C_k =2^(n−2) n(n+1)
$$\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} \:^{{n}} {C}_{{k}} =?? \\ $$$${k}^{\mathrm{2}} \:^{{n}} {C}_{{k}} ={k}×{k}\:^{{n}} {C}_{{k}} ={k}×{n}\:^{{n}−\mathrm{1}} {C}_{{k}−\mathrm{1}} \\ $$$${so}\:\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} \:^{{n}} {C}_{{k}} ={n}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\:\:^{{n}−\mathrm{1}} {C}_{{k}−\mathrm{1}} \\ $$$${let}\:\:{l}={k}−\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\:\:^{{n}−\mathrm{1}} {C}_{{k}−\mathrm{1}} =\underset{{l}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left({l}+\mathrm{1}\right)\:^{{n}−\mathrm{1}} {C}_{{l}} \\ $$$$=\underset{{l}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{l}\:\:^{{n}−\mathrm{1}} {C}_{{l}} +\underset{{l}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\:^{{n}−\mathrm{1}} {C}_{{l}} \\ $$$${we}\:{already}\:{knew}\:\:{that}\:\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:^{{n}} {C}_{{k}} =\mathrm{2}^{{n}} \\ $$$${and}\:\:\underset{{l}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{l}\:\:^{{n}} {C}_{{l}} =\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} {n}\:\:\:\left({check}\:\:{Q}\:\mathrm{33072}\right) \\ $$$${So}\:\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} \:^{{n}} {C}_{{k}} ={n}\left(\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{k}\:\:^{{n}−\mathrm{1}} {C}_{{k}} +\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\:^{{n}−\mathrm{1}} {C}_{{k}} \right) \\ $$$$={n}\left(\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \left({n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} \:^{{n}} {C}_{{k}} =\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} {n}\left({n}+\mathrm{1}\right) \\ $$

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