Question Number 47720 by maxmathsup by imad last updated on 13/Nov/18
$${find}\:\int\:{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right){dx} \\ $$
Answered by MJS last updated on 14/Nov/18
$$\int\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\:{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\begin{bmatrix}{\mathrm{in}\:\mathrm{parts}:}\\{{u}'=\mathrm{1}\:\rightarrow\:{u}={x}}\\{{v}=\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\:\rightarrow\:{v}'=\frac{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}}\end{bmatrix} \\ $$$$={x}\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\:−\int\frac{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} }{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$\int\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{dx}=\int\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\right){dx}={x}−\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$$$\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}=\int\frac{{dx}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{{dx}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{{x}−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{{dx}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}\right){dx}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{{dx}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$$$\int\frac{{dx}}{{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{ln}\:\left({x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}=\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}=\int\frac{{dx}}{\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\begin{bmatrix}{{t}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}{x}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{dt}}\end{bmatrix} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\:{t}\:=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctan}\:\left(\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}{x}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\int\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\:{dx}=−\mathrm{3}{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\:\left(\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}{x}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\right)+{x}\mathrm{ln}\:\mid{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\mid\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mid{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\mid\:+\mathrm{ln}\:\mid{x}+\mathrm{1}\mid\:+{C} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 15/Nov/18
$${thank}\:{you}\:{sir}\:{MJS}\:{for}\:{this}\:{hard}\:{work}. \\ $$
Answered by Smail last updated on 14/Nov/18
$${u}={ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right)\Rightarrow{u}'=\frac{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$${v}'=\mathrm{1}\Rightarrow{v}={x} \\ $$$${A}=\int{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right){dx}={xln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{3}\int\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} }{dx}+{c} \\ $$$$={xln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{3}\int\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} }\right){dx}+{c} \\ $$$$={xln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{3}{x}+\mathrm{3}\int\frac{{dx}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}+{k} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}=\frac{{a}}{{x}+\mathrm{1}}+\frac{{bx}+{c}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:,\:{c}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:,\:{b}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${A}={xln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{3}{x}+\int\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{{x}−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\right){dx}+{k} \\ $$$$={xln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{3}{x}+{ln}\mid\mathrm{1}+{x}\mid−\int\frac{{x}−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}+{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\int\frac{{x}−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\mid{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}+{a} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\mid{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\mid−\mathrm{2}\int\frac{{dx}}{\left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{a} \\ $$$${t}=\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\Rightarrow{dx}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{dt} \\ $$$$\int\frac{{x}−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\mid{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\mid−\sqrt{\mathrm{3}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{a} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\mid{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\mid−\sqrt{\mathrm{3}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$${A}={xln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{3}{x}+{ln}\mid\mathrm{1}+{x}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\mid{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\mid+\sqrt{\mathrm{3}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+{C} \\ $$$$={xln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} \right)+{ln}\mid\frac{{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}}\mid+\sqrt{\mathrm{3}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)−\mathrm{3}{x}+{C} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 15/Nov/18
$${thank}\:{you}\:{sir}. \\ $$