Question Number 148676 by bemath last updated on 30/Jul/21
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{local}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{function} \\ $$$$\:\mathrm{H}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{1}}}\:. \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 30/Jul/21
$${H}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{34}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{102}{x}+\mathrm{34}}{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{11}{x}+\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} {h}+\mathrm{11}{hx}+\mathrm{3}{h}=\mathrm{34}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{102}{x}+\mathrm{34} \\ $$$$\left(\mathrm{34}−\mathrm{3}{h}\right){x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{102}−\mathrm{11}{h}\right){x}+\mathrm{34}−\mathrm{3}{h}=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{102}−\mathrm{11}{h}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{34}−\mathrm{3}{h}\right)\left(\mathrm{34}−\mathrm{3}{h}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{10404}−\mathrm{2244}{h}+\mathrm{121}{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{1156}−\mathrm{204}{h}+\mathrm{9}{h}^{\mathrm{2}} \right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{121}{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2244}{h}+\mathrm{10404}−\mathrm{4624}+\mathrm{816}{h}−\mathrm{36}{h}^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{85}{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1428}{h}+\mathrm{5780}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left({h}−\mathrm{10}\right)\left(\mathrm{5}{h}−\mathrm{34}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$${h}\leqslant\:\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{5}}\cup\:{h}\geqslant\mathrm{10} \\ $$$${H}\left({x}\right)_{{min}} =\:\mathrm{10}\:{when}\:{x}=\mathrm{1}\: \\ $$
Commented by EDWIN88 last updated on 30/Jul/21
