Question Number 164716 by cortano1 last updated on 21/Jan/22
$$\:\:\:{find}\:{minimum}\:{value}\:{of}\: \\ $$$$\:{f}\left({x}\right)=\mathrm{4sin}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{5sin}\:{x}−\mathrm{5cos}\:{x}+\mathrm{6} \\ $$
Answered by bobhans last updated on 21/Jan/22
$$\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{4cos}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{2x}\right)−\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{6} \\ $$$$\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{4cos}\:\mathrm{2}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\mathrm{x}\right)−\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{6} \\ $$$$\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\mathrm{x}=\varphi\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\varphi\right)=\mathrm{4cos}\:\mathrm{2}\varphi−\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\varphi+\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\varphi\right)=\mathrm{8cos}\:^{\mathrm{2}} \varphi−\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\varphi+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\varphi\right)\:\mathrm{will}\:\mathrm{be}\:\mathrm{min}\:\mathrm{when}\:\mathrm{cos}\:\varphi=\:\frac{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{16}} \\ $$$$\mathrm{min}\:\mathrm{f}\left(\varphi\right)\:=\:\mathrm{8}\left(\frac{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{16}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\frac{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{16}}\right)+\mathrm{2}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{16}} \\ $$$$ \\ $$