Question Number 188343 by Shrinava last updated on 28/Feb/23
$$\mathrm{Find}:\:\Omega\:=\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{n}}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\left(\underset{\boldsymbol{\mathrm{x}}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{1}\:-\:\frac{\mathrm{5}\:-\:\sqrt{\mathrm{25}\:-\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{x}}\:\right)^{\frac{\mathrm{5}\boldsymbol{\mathrm{n}}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}} \:\right) \\ $$
Answered by SEKRET last updated on 28/Feb/23
$$\:\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{x}}\rightarrow\mathrm{0}} {\boldsymbol{\mathrm{lim}}}\:\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{25}−\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}\right)^{\frac{\mathrm{5}\boldsymbol{\mathrm{n}}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}} =\underset{\boldsymbol{\mathrm{x}}\rightarrow\mathrm{0}} {\boldsymbol{\mathrm{lim}}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{25}−\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }\:−\mathrm{5}\:\:}\:\:}\right)^{\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{25}−\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }\:−\mathrm{5}}\centerdot\frac{\mathrm{5}\boldsymbol{\mathrm{n}}\centerdot\left(\sqrt{\mathrm{25}−\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \:}\:−\mathrm{5}\right)}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\:\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{25}−\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \:}\:−\mathrm{5}}\:=\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}\rightarrow\mathrm{0}\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\rightarrow\mp\infty \\ $$$$\:\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{a}}\rightarrow\mp\infty} {\boldsymbol{\mathrm{lim}}}\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{a}}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{a}}\:\centerdot\mathrm{5}\boldsymbol{\mathrm{n}}\centerdot\underset{\boldsymbol{\mathrm{x}}\rightarrow\mathrm{0}} {\boldsymbol{\mathrm{lim}}}\frac{\sqrt{\mathrm{25}−\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }\:−\mathrm{5}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }} =\:\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{−\mathrm{5}\boldsymbol{\mathrm{n}}}{\mathrm{10}}} \\ $$$$\underset{\boldsymbol{\mathrm{n}}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{−\boldsymbol{\mathrm{n}}}{\mathrm{2}}} =\:? \\ $$$$\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} +\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{2}}} +\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} +\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{−\mathrm{4}}{\mathrm{2}}} +\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{−\mathrm{5}}{\mathrm{2}}} +…..=\boldsymbol{\mathrm{A}} \\ $$$$\:\:\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} +\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \centerdot\underset{\boldsymbol{\mathrm{A}}} {\left(\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} +\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{2}}} +……\right)}=\:\boldsymbol{\mathrm{A}} \\ $$$$\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{A}}=\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} }{\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} }=\:\frac{\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{e}}}}{\boldsymbol{\mathrm{e}}−\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{e}}}\:}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{e}}}\:−\mathrm{1}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{ABDULAZIZ}}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{ABDUVALIYEV}}\: \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$