Question Number 33305 by abdo imad last updated on 14/Apr/18
$${find}\:\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{1}\:−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$
Commented by prof Abdo imad last updated on 15/Apr/18
$${the}\:{Q}\:{is}\:{find}\:\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$
Commented by abdo imad last updated on 19/Apr/18
$${let}\:{put}\:{S}_{{n}} =\:\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} {ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$${we}\:{have}\:{S}_{{n}} ={ln}\left(\prod_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\right)\right)\:{but}\:{we}\:{have} \\ $$$$\prod_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\right)\:=\:\prod_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:\frac{{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:=\prod_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}} \:\frac{{k}−\mathrm{1}}{{k}}\:.\frac{{k}+\mathrm{1}}{{k}} \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:….\frac{{n}−\mathrm{2}}{{n}−\mathrm{1}}\:\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}}\right)\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\:….\frac{{n}}{{n}−\mathrm{1}}\:\frac{{n}+\mathrm{1}}{{n}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{n}}\:\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}\:\Rightarrow\:{S}_{{n}} \:={ln}\left(\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}\right)\Rightarrow{lim}_{{n}\rightarrow+\infty\:} {S}_{{n}} =−{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$${so}\:\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} {ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right)=−{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:. \\ $$