Question Number 96715 by bobhans last updated on 04/Jun/20
$$\mathrm{find}\:\mathrm{real}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\mathrm{equation} \\ $$$${x}^{\mathrm{5}} +{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$
Answered by bemath last updated on 04/Jun/20
$$\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{3}} −{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{first}\:\mathrm{term}\:\mathrm{nothing}\:\mathrm{have}\:\mathrm{real}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{second}\:\mathrm{term}\: \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} −{x}+\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$${by}\:{C}\mathrm{ardano}\: \\ $$$${x}\:=\:\sqrt[{\mathrm{3}\:\:}]{\frac{−{q}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\frac{{q}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}+\frac{{p}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{27}}}}\:+\:\sqrt[{\mathrm{3}\:\:\:}]{\frac{−{q}}{\mathrm{2}}−\sqrt{\frac{{q}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}+\frac{{p}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{27}}}} \\ $$$${x}\:=\:\sqrt[{\mathrm{3}\:\:}]{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}}}\:+\:\sqrt[{\mathrm{3}\:\:}]{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}}} \\ $$