Question Number 36436 by prof Abdo imad last updated on 02/Jun/18
$${find}\:\:\int\:\:\:\:\:\frac{{sinx}}{\mathrm{1}+{cos}^{\mathrm{3}} {x}}{dx} \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 02/Jun/18
$$=\int\frac{−{dt}}{\left(\mathrm{1}+{t}\right)\left(\mathrm{1}−{t}+{t}^{\mathrm{2}} \right)}\:\:\:\:{t}={cosx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+{t}\right)\left(\mathrm{1}−{t}+{t}^{\mathrm{2}} \right)}=\frac{{a}}{\mathrm{1}+{t}}+\frac{{bt}+{c}}{\mathrm{1}−{t}+{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\mathrm{1}={a}−{at}+{at}^{\mathrm{2}} +{bt}+{c}+{bt}^{\mathrm{2}} +{ct} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1}={a}+{c}+{t}\left(−{a}+{b}+{c}\right)+{t}^{\mathrm{2}} \left({a}+{b}\right) \\ $$$${a}+{c}=\mathrm{1} \\ $$$$−{a}+{b}+{c}=\mathrm{0} \\ $$$${a}+{b}=\mathrm{0} \\ $$$$−{a}−{a}+\mathrm{1}−{a}=\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{3}{a}=−\mathrm{1} \\ $$$${a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${b}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\overset{} {{c}}=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${b}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${c}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$=−\mathrm{1}\int\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}+{t}}{dt}−\int\frac{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{t}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}−{t}+{t}^{\mathrm{2}} }{dt} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left(\mathrm{1}+{t}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{{t}−\mathrm{2}}{\mathrm{1}−{t}+{t}^{\mathrm{2}} }{dt} \\ $$$$={do}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\mathrm{2}{t}−\mathrm{4}}{{t}^{\mathrm{2}} −{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$={do}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} −{t}+\mathrm{1}}{dt}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\mathrm{3}}{{t}^{\mathrm{2}} −{t}+\mathrm{1}}{dt} \\ $$$$={do}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{ln}\left({t}^{\mathrm{2}} −{t}+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{6}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{t}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left(\mathrm{1}+{t}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{ln}\left({t}^{\mathrm{2}} −{t}+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{6}}\int\frac{{dt}}{\left({t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}} \\ $$$${do}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\right) \\ $$$$ \\ $$
Answered by MJS last updated on 02/Jun/18
$$\int\frac{\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \:{x}}{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{bmatrix}{{t}=\mathrm{2arctan}\:{x}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{\mathrm{2}{dt}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }}\\{\mathrm{sin}\:{x}=\frac{\mathrm{2}{t}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\:\:\:\:\:\mathrm{cos}\:{x}=\frac{\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }}\end{bmatrix} \\ $$$$=\mathrm{2}\int\frac{{t}^{\mathrm{3}} +{t}}{\mathrm{3}{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}{dt}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left[{u}={t}^{\mathrm{2}} \:\rightarrow\:{dt}=\frac{{du}}{\mathrm{2}{t}}\right] \\ $$$$=\int\frac{{u}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{du}=\int\frac{{u}}{\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{du}+\int\frac{{du}}{\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left[{v}=\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\:\rightarrow\:{du}=\frac{\mathrm{6}}{{dv}};\:{w}=\sqrt{\mathrm{3}}{u}\:\rightarrow\:{du}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}{dw}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{{dv}}{{v}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\int\frac{{dw}}{{w}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\:{v}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\:{w}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\mathrm{3}}{u}\right)= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\mathrm{3}}{t}^{\mathrm{2}} \right)= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{48}\left(\mathrm{1}+\mathrm{arctan}^{\mathrm{4}} \:{x}\right)\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}^{\mathrm{2}} \:{x}\right)+{C} \\ $$