Question Number 115405 by mathdave last updated on 25/Sep/20
$${find}\:{the}\:{close}\:{form}\:{of} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 25/Sep/20
$$\mathrm{S}\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \:\:\mathrm{with}\:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2k}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{a}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(−\mathrm{1}\right)}\:=−\mathrm{1}\:,\:\mathrm{b}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(−\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}\right)}\:=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{c}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{2}\right)}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:,\:\:\mathrm{d}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left(−\mathrm{2}\right)}\:=\mathrm{2}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}\:+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\:+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{2k}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{2}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{2k}+\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}−\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\:=−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\rightarrow−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{2}}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\:+\mathrm{1}\rightarrow\mathrm{1}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{2k}+\mathrm{1}}\:\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{2k}+\mathrm{3}}\:=_{\mathrm{k}=\mathrm{p}−\mathrm{1}} \:\:\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2p}+\mathrm{1}}\:=−\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{2p}+\mathrm{1}} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{2p}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{1}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}.\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:+\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\mathrm{1}−\mathrm{2ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi}{\mathrm{6}}\:+\mathrm{2}−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{3}−\mathrm{2ln}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathdave last updated on 25/Sep/20
$${beautiful}\:{approaches}\:{but}\:{little}\:{mistake} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 25/Sep/20
$$\mathrm{i}\:\mathrm{think}\:\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{no}\:\mathrm{mistakes}\:…! \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 06/Sep/21
$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\ $$