Question Number 151211 by EDWIN88 last updated on 19/Aug/21
$$\:{Find}\:{the}\:{coefficient}\:{of}\:{x}^{\mathrm{9}} \: \\ $$$${from}\:{expression}\: \\ $$$$\:\left(\mathrm{1}+{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{5}{x}^{\mathrm{5}} \right)…\left(\mathrm{1}+\mathrm{10}{x}^{\mathrm{10}} \right) \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 19/Aug/21
$${f}\left({x}\right)\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{10}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+{nx}^{{n}} \right) \\ $$$$ \\ $$$$\bullet\:\mathrm{9}\:=\:\mathrm{9}+\mathrm{0}\::\:\mathrm{coeff}\:=\:\mathrm{9}×\mathrm{1}\:=\:\mathrm{9} \\ $$$$\bullet\:\mathrm{9}\:=\:\mathrm{8}+\mathrm{1}\::\:\mathrm{coeff}\:=\:\mathrm{8}×\mathrm{1}\:=\:\mathrm{8} \\ $$$$\bullet\:\mathrm{9}\:=\:\mathrm{7}+\mathrm{2}\::\:\mathrm{coeff}\:=\:\mathrm{7}×\mathrm{2}\:=\:\mathrm{14} \\ $$$$\bullet\:\mathrm{9}\:=\:\mathrm{6}+\mathrm{3}\:=\:\mathrm{6}+\mathrm{2}+\mathrm{1}\:: \\ $$$$\mathrm{coeff}\:=\:\mathrm{6}×\mathrm{3}+\mathrm{6}×\mathrm{2}×\mathrm{1}\:=\:\mathrm{30} \\ $$$$\bullet\:\mathrm{9}\:=\:\mathrm{5}+\mathrm{4}\:=\:\mathrm{5}+\mathrm{3}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{coeff}\:=\:\mathrm{5}×\mathrm{4}+\mathrm{5}×\mathrm{3}×\mathrm{1}\:=\:\mathrm{35} \\ $$$$\bullet\:\mathrm{9}\:=\:\mathrm{4}+\mathrm{3}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{coeff}\:=\:\mathrm{4}×\mathrm{3}×\mathrm{2}\:=\:\mathrm{24} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{coeff}\:\mathrm{of}\:{x}^{\mathrm{9}} \:=\:\mathrm{9}+\mathrm{8}+\mathrm{14}+\mathrm{30}+\mathrm{35}+\mathrm{24}\:=\:\mathrm{120} \\ $$
Commented by liberty last updated on 19/Aug/21
$$\mathrm{yes}\:\mathrm{typo}\:\mathrm{in}\:\mathrm{part}\:\bullet\mathrm{9}\:=\:\mathrm{7}+\mathrm{2}\: \\ $$