Question Number 144201 by bramlexs22 last updated on 23/Jun/21
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equations}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circles} \\ $$$$\mathrm{passing}\:\mathrm{through}\:\left(−\mathrm{4},\mathrm{3}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{touching} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{lines}\:\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}−\mathrm{y}=\mathrm{2} \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 23/Jun/21
$$\mathrm{let}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{be}\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2gx}+\mathrm{2fy}+\mathrm{c}\:=\mathrm{0}…\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{it}\:\mathrm{passes}\:\mathrm{through}\:\left(−\mathrm{4},\mathrm{3}\right)\:\mathrm{therefore} \\ $$$$\:\mathrm{25}−\mathrm{8g}+\mathrm{6f}+\mathrm{c}\:=\mathrm{0}…\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{touches}\:\mathrm{the}\:\mathrm{lines}\: \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{2}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{x}−\mathrm{y}−\mathrm{2}=\mathrm{0}}\end{cases}\:\Rightarrow\:\mathrm{then}\: \\ $$$$\:\mid\frac{−\mathrm{g}−\mathrm{f}−\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mid=\mid\frac{−\mathrm{g}+\mathrm{f}−\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mid=\sqrt{\mathrm{g}^{\mathrm{2}} +\mathrm{f}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}}\:…\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\mathrm{Now}\:\mid\frac{−\mathrm{g}−\mathrm{f}−\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mid=\mid\frac{−\mathrm{g}+\mathrm{f}−\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mid \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{f}=\mathrm{0}\:\mathrm{or}\:\mathrm{g}=−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{case}\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{for}\:\mathrm{f}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mid\frac{−\mathrm{g}−\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mid=\sqrt{\mathrm{g}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{g}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{g}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4g}−\mathrm{2c}−\mathrm{4}=\mathrm{0}…\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$\mathrm{putting}\:\mathrm{f}=\mathrm{0}\:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{gives}\:\mathrm{25}−\mathrm{8g}+\mathrm{c}=\mathrm{0}…\left(\mathrm{v}\right) \\ $$$$\:\mathrm{eliminaring}\:\mathrm{c}\:\mathrm{between}\:\left(\mathrm{iv}\right)\&\left(\mathrm{v}\right) \\ $$$$\mathrm{g}^{\mathrm{2}} −\mathrm{20g}+\mathrm{46}=\mathrm{0}\:;\:\mathrm{g}=\mathrm{10}\pm\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{substituting}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{g}\:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{v}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\mathrm{c}=\mathrm{55}\pm\mathrm{24}\sqrt{\mathrm{6}}\: \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{eq}\:\mathrm{of}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{is}\: \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \pm\mathrm{2}\left(\mathrm{10}\pm\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{6}}\right)\mathrm{x}+\left(\mathrm{55}\pm\mathrm{24}\sqrt{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$