Question Number 130894 by EDWIN88 last updated on 30/Jan/21
$${Find}\:{the}\:{function}\:{f}\left({x}\right)\:{if}\: \\ $$$$\:\mathrm{3}{f}\left({x}−\mathrm{1}\right)−{f}\left(\frac{\mathrm{1}−{x}}{{x}}\right)\:=\:\mathrm{2}{x}\: \\ $$
Commented by benjo_mathlover last updated on 30/Jan/21
այս հարցը շատ հետաքրքիր է
Commented by EDWIN88 last updated on 30/Jan/21
շնորհակալություն
Answered by mr W last updated on 30/Jan/21
$$\mathrm{3}{f}\left({x}−\mathrm{1}\right)−{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}{x}\:\:\:…\left({i}\right) \\ $$$$\mathrm{3}{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\mathrm{1}\right)−{f}\left({x}−\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{2}}{{x}}\:\:\:…\left({ii}\right) \\ $$$$\mathrm{3}×\left({i}\right)+\left({ii}\right): \\ $$$$\mathrm{8}{f}\left({x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{3}{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right) \\ $$$${f}\left({x}−\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{3}{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right) \\ $$$$\Rightarrow{f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{3}\left({x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\right) \\ $$
Commented by EDWIN88 last updated on 30/Jan/21
nice
Answered by benjo_mathlover last updated on 30/Jan/21
$$\mathrm{replace}\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}}\:\mathrm{by}\:\mathrm{t}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{3f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\mathrm{3f}\left(\frac{−\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)−\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}…\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{replace}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}\:\mathrm{by}\:\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{t}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3f}\left(\mathrm{t}\right)−\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)=\:\mathrm{2t}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{3f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{f}\left(\frac{−\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)=\mathrm{2t}+\mathrm{2}\:…\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{3}×\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow\:\mathrm{9f}\left(\mathrm{t}\right)−\mathrm{3f}\left(\frac{−\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)=\:\mathrm{6t}+\mathrm{6} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{1}×\left(\mathrm{i}\right)\Rightarrow\:−\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)+\mathrm{3f}\left(\frac{−\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\:+ \\ $$$$\:\Leftrightarrow\:\mathrm{8f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\:\mathrm{6t}+\mathrm{6}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\Leftrightarrow\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4x}+\mathrm{4}}\:=\:\frac{\mathrm{12}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x}+\mathrm{4}}{\mathrm{4x}+\mathrm{4}} \\ $$