Question Number 85706 by naka3546 last updated on 24/Mar/20
$${Find}\:\:{the}\:\:{general}\:\:{solution}\:\:{of} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{2}} \:\sqrt{{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}}\:\:{dx}\:+\:\mathrm{5}\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}\:\:{y}\:{dy}\:\:=\:\:\mathrm{0} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 24/Mar/20
$$\Leftrightarrow\frac{{ydy}}{\:\sqrt{{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}}}=−\frac{\mathrm{5}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}}{{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\sqrt{{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}}=\mathrm{5}\int−\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx}=\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}}{{x}}−\int\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}}{{x}}−{argsh}\left(\frac{{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+{c} \\ $$$$\Rightarrow{y}=\left(\left(\frac{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}}{{x}}−{argsh}\left(\frac{{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+{c}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$