Question Number 191846 by malwan last updated on 01/May/23
$${find}\:{the}\:{last}\:{three}\:{digits} \\ $$$${of}\:\mathrm{4}^{\mathrm{2}^{\mathrm{42}} } \\ $$$${Mohammed}\:{Alwan} \\ $$
Answered by AST last updated on 01/May/23
$$\mathrm{4}^{\mathrm{2}^{\mathrm{42}} } =\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{43}} } \equiv{x}\left({mod}\:\mathrm{1000}\right)\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{43}} −\mathrm{3}} \equiv\frac{{x}}{\mathrm{8}}\left({mod}\:\mathrm{125}\right) \\ $$$$\phi\left(\mathrm{125}\right)=\mathrm{100} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{43}} −\mathrm{3}\equiv{y}\left({mod}\:\mathrm{100}\right)\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{41}} \equiv\frac{{y}+\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\left({mod}\:\mathrm{25}\right) \\ $$$$\phi\left(\mathrm{25}\right)=\mathrm{20}\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{41}} \equiv\left(\mathrm{2}^{\mathrm{20}} \right)^{\mathrm{2}} ×\mathrm{2}\equiv\mathrm{1}×\mathrm{2}\equiv\frac{{y}+\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\left({mod}\:\mathrm{25}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{8}\equiv{y}+\mathrm{3}\left({mod}\:\mathrm{100}\right)\Rightarrow{y}\equiv\mathrm{5}\left({mod}\:\mathrm{100}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{43}} \equiv\mathrm{8}\left({mod}\:\mathrm{100}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{43}} −\mathrm{3}} \equiv\left(\mathrm{2}^{\mathrm{100}{q}} \right)\mathrm{2}^{\mathrm{5}} \equiv\frac{{x}}{\mathrm{8}}\left({mod}\:\mathrm{125}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{8}×\mathrm{32}\equiv{x}\left({mod}\:\mathrm{1000}\right)\Rightarrow{x}\equiv\mathrm{256}\left({mod}\:\mathrm{1000}\right) \\ $$$$\Rightarrow{Last}\:{three}\:{digits}\:{of}\:\mathrm{4}^{\mathrm{2}^{\mathrm{42}} } =\mathrm{256} \\ $$
Commented by malwan last updated on 01/May/23
$${thank}\:{you}\:{so}\:{much}\:{sir} \\ $$