Question Number 36166 by Rio Mike last updated on 29/May/18
$$\:\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{middle}\:\mathrm{term}\:\mathrm{in}\: \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{expansion}\:\mathrm{of}\:\:\left(\mathrm{x}^{} \:+\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{9}} \\ $$
Commented by abdo.msup.com last updated on 30/May/18
$${we}\:{have}\:\left({x}+\frac{\mathrm{3}}{{x}}\right)^{\mathrm{9}} \:=\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{9}} \:{C}_{\mathrm{9}} ^{{k}} \:{x}^{{k}} \left(\frac{\mathrm{3}}{{x}}\right)^{\mathrm{9}−{k}} \\ $$$$=\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{9}} \:{C}_{\mathrm{9}} ^{{k}} \:\:\mathrm{3}^{\mathrm{9}−{k}} \:{x}^{{k}\:+{k}−\mathrm{9}} \\ $$$$=\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{9}} \:{C}_{\mathrm{9}} ^{{k}} \:\mathrm{3}^{\mathrm{9}−{k}} \:{x}^{\mathrm{2}{k}−\mathrm{9}} \:\:\:{the}\:{middle}\: \\ $$$${term}\:{is}\:{ax}^{\mathrm{5}} \:\:{so}\:{we}\:{must}\:{have} \\ $$$$\mathrm{2}{k}−\mathrm{9}\:=\mathrm{5}\:\Rightarrow{k}\:=\mathrm{7}\:\:{and}\:{the}\:{coeffcient} \\ $$$${is}\:\mathrm{3}^{\mathrm{9}−\mathrm{7}} \:{C}_{\mathrm{9}} ^{\mathrm{7}} \:\:=\mathrm{9}\:.\:\:\frac{\mathrm{9}!}{\mathrm{7}!\:\mathrm{2}!}\:=\:\frac{\mathrm{9}.\mathrm{9}.\mathrm{8}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{81}\:×\mathrm{4}\:=\:\:\:\mathrm{324}\:\:{so}\:{the}\:{coefficient}\:{is} \\ $$$$\mathrm{354}{x}^{\mathrm{5}} \:. \\ $$$${the}\:{coefficient}\:{is}\:\mathrm{324}\:{x}^{\mathrm{5}} \:. \\ $$