Question Number 32041 by abdo imad last updated on 18/Mar/18
$${find}\:{the}\:{nature}\:{of}\:\Sigma\:{u}_{{n}} \:\:/ \\ $$$${u}_{{n}} =\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\:+….+\sqrt{{n}}}{{n}^{\mathrm{3}} }\:. \\ $$
Commented by abdo imad last updated on 20/Mar/18
$${we}\:{have}\:{u}_{{n}} =\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:\left(\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}}}\:\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\sqrt{\:\frac{{k}}{{n}}}\:\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{n}\sqrt{{n}}}\left(\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\:\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\sqrt{\frac{{k}}{{n}}}\:\right)\:{but}\:{lim}_{{n}\rightarrow\infty} \frac{\mathrm{1}}{{n}}\:\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\sqrt{\frac{{k}}{{n}}} \\ $$$$=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\sqrt{{x}}\:{dx}\:=\:\left[\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:{x}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \:\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:\:\Rightarrow\:\:{u}_{{n}} \:\sim\:\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}{n}\sqrt{{n}}}\:\:{and} \\ $$$${the}\:{serie}\:\:\sum_{{n}\geqslant\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}{n}\sqrt{{n}}}\:{is}\:{convergent}\:{so}\:\Sigma\:{u}_{{n}\:} {converges}. \\ $$