Question Number 20983 by Tinkutara last updated on 09/Sep/17
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ordered}\:\mathrm{triples} \\ $$$$\left({a},\:{b},\:{c}\right)\:\mathrm{of}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{integers}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that} \\ $$$${abc}\:=\:\mathrm{108}. \\ $$
Answered by dioph last updated on 10/Sep/17
$$\mathrm{108}\:=\:\mathrm{2}^{\mathrm{2}} ×\mathrm{3}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{pick}\:{a}\:\in\:{D}\left(\mathrm{108}\right)=\left\{\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{6},\mathrm{9},\mathrm{12},\mathrm{18},\mathrm{27},\mathrm{36},\mathrm{54},\mathrm{108}\right\} \\ $$$$\mathrm{then}\:{bc}\:=\:\left(\mathrm{108}/{a}\right)\:\in\:{D}\left(\mathrm{108}\right) \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{write}\:\mathrm{the}\:\mathrm{members}\:\mathrm{of}\:{D}\left(\mathrm{108}\right) \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{their}\:\mathrm{factored}\:\mathrm{form},\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}: \\ $$$${D}\left(\mathrm{108}\right)=\left\{\mathrm{1},\mathrm{2}^{\mathrm{1}} ,\mathrm{3}^{\mathrm{1}} ,\mathrm{2}^{\mathrm{2}} ,\mathrm{2}×\mathrm{3},\mathrm{3}^{\mathrm{2}} ,\mathrm{2}^{\mathrm{2}} ×\mathrm{3},\mathrm{2}×\mathrm{3}^{\mathrm{2}} ,\mathrm{3}^{\mathrm{3}} ,\mathrm{2}^{\mathrm{2}} ×\mathrm{3}^{\mathrm{2}} ,\mathrm{2}×\mathrm{3}^{\mathrm{3}} ,\mathrm{2}^{\mathrm{2}} ×\mathrm{3}^{\mathrm{3}} \right\} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ordered}\:\mathrm{pairs} \\ $$$$\left({b},\:{c}\right)\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:{bc}\:\mathrm{is}\:\mathrm{each}\:\mathrm{of}\:\mathrm{those}\:\mathrm{is}: \\ $$$${N}\left({D}\left(\mathrm{108}\right)\right)=\left\{\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{3},\mathrm{6},\mathrm{6},\mathrm{4},\mathrm{9},\mathrm{8},\mathrm{12}\right\} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{elements} \\ $$$$\mathrm{from}\:\mathrm{the}\:\mathrm{set}\:\mathrm{above} \\ $$$$=\:\mathrm{60}\:\mathrm{triplets} \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 10/Sep/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$