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Question Number 17373 by mrW1 last updated on 04/Jul/17

$$\mathrm{Find}\mathrm{the}\mathrm{point}\mathrm{in}\mathrm{interior}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{convex}$$$$\mathrm{quadrilateral}\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{its}$$$$\mathrm{distances}\mathrm{to}\mathrm{the}4\mathrm{vertices}\mathrm{is}\mathrm{minimal}.$$$$$$$$\mathrm{Find}\mathrm{the}\mathrm{point}\mathrm{in}\mathrm{interior}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{convex}$$$$\mathrm{quadrilateral}\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{its}$$$$\mathrm{distances}\mathrm{to}\mathrm{the}4\mathrm{sides}\mathrm{is}\mathrm{minimal}.$$

Answered by ajfour last updated on 05/Jul/17

$$\mathrm{let}{\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{distance}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{point}\left(\mathrm{P}\right)$$$$\mathrm{from}\mathrm{vertex}\mathrm{A}\mathrm{and}\mathrm{so}\mathrm{on}..$$$$\mathrm{let}\mathrm{L}={\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{C}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{D}}$$$${\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{C}}⩾\mathrm{AC}$$$${\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{D}}⩾\mathrm{BD}$$$$\mathrm{so}{\mathrm{L}}_{\mathrm{minimum}}=\mathrm{AC}+\mathrm{BD}$$$$\mathrm{so}\mathrm{point}\mathrm{P}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{intersection}\mathrm{of}$$$$\mathrm{the}\mathrm{diagonals}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{quadrilateral}.$$$$$$$$\mathrm{when}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{distances}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{point}$$$$\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{four}\mathrm{sides}\mathrm{is}\mathrm{minimum}$$$$\mathrm{the}\mathrm{point}\mathrm{is}\mathrm{probably}\mathrm{at}\mathrm{the}$$$$\mathrm{corner}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{quadrilateral}\mathrm{having}$$$$\mathrm{the}\mathrm{greatest}\mathrm{angle}\left(\mathrm{cannot}\mathrm{prove}\mathrm{yet}\right).$$

Commented by mrW1 last updated on 05/Jul/17

$$\mathrm{answer}\mathrm{to}\mathrm{part}1\mathrm{is}\mathrm{correct}.$$$$\mathrm{answer}\mathrm{to}\mathrm{part}2\mathrm{is}\mathrm{to}\mathrm{check}.\mathrm{please}$$$$\mathrm{consider}\mathrm{different}\mathrm{cases}.$$

Answered by mrW1 last updated on 05/Jul/17

$$\mathrm{To}\mathrm{part}1:$$$$\mathrm{The}\mathrm{answer}\mathrm{is}\mathrm{as}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{ajfour}\mathrm{the}$$$$\mathrm{intersection}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{diagonals}.$$$$$$$$\mathrm{To}\mathrm{part}2:$$$$\mathrm{case}1:$$$$\mathrm{both}\mathrm{pairs}\mathrm{of}\mathrm{opposite}\mathrm{sides}\mathrm{are}\mathrm{not}$$$$\mathrm{parallel},\mathrm{see}\mathrm{diagram}.$$$$\mathrm{Point}\mathrm{A}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{point}\mathrm{whose}\mathrm{sum}\mathrm{of}$$$$\mathrm{distances}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{sides}\mathrm{is}\mathrm{minimal}.$$

Commented by mrW1 last updated on 05/Jul/17

Commented by mrW1 last updated on 05/Jul/17

$$\mathrm{case}2:$$$$\mathrm{one}\mathrm{pair}\mathrm{of}\mathrm{opposite}\mathrm{sides}\mathrm{is}\mathrm{parallel}.$$$$\mathrm{The}\mathrm{point}\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{closest}\mathrm{to}\mathrm{K}\mathrm{is}\mathrm{the}$$$$\mathrm{solution},\mathrm{here}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{point}\mathrm{A}.$$

Commented by mrW1 last updated on 05/Jul/17

Commented by mrW1 last updated on 05/Jul/17

$$\mathrm{case}3:$$$$\mathrm{both}\mathrm{pairs}\mathrm{of}\mathrm{opposite}\mathrm{sides}\mathrm{are}\mathrm{parallel}.$$$$\mathrm{The}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{distances}\mathrm{from}\mathrm{every}\mathrm{point}$$$$\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{sides}\mathrm{is}\mathrm{constant}.$$

Commented by mrW1 last updated on 05/Jul/17

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