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Find-the-positive-integer-solution-of-the-equation-x-3-y-3-7-14xy-3-

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Question Number 157163 by MathSh last updated on 20/Oct/21
Find the positive integer solution of the equation: x^3 + y^3 = 7∙(14xy + 3)
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}: \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{7}\centerdot\left(\mathrm{14xy}\:+\:\mathrm{3}\right) \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 22/Oct/21
x^3 + y^3 = 7∙(14xy + 3) x^3 + y^3 −21 = 7^2 .2xy x^3 + y^3 −21∈E ⇒x^3 + y^3 ∈O ⇒ one of x,y is odd and other is even. As x and y are exchangeable we may take any one of these as odd. let x∈O , y∈E (2m+1)^3 +(2n)^3 −21=98(2m+1)(2n) ▶8m^3 +1+6m(2m+1)+8n^3 −21 =98(2m+1)(2n) ▶8m^3 +8n^3 +6m(2m+1)−20 =98(2m+1)(2n) ▶4m^3 +4n^3 +3m(2m+1)−10 =49(2m+1)(2n) 49(2m+1)(2n)∈E ⇒4m^3 +4n^3 +3m(2m+1)−10∈E ⇒3m(2m+1)∈E ⇒6m^2 +3m∈E⇒m∈E x=2m+1=2(2k)+1=4k+1;k∈W x=1,5,9,.... x=1: (1)^3 +y^3 =7(14.1.y+3) y^3 −98y−20=0 (y−10)(y^2 +10y+2_(y∉N) )=0 y=10 Continue
$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{7}\centerdot\left(\mathrm{14xy}\:+\:\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{21}\:=\:\mathrm{7}^{\mathrm{2}} .\mathrm{2xy}\: \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{21}\in\mathbb{E} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{3}} \in\mathbb{O} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{one}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x},\mathrm{y}\:\mathrm{is}\:\mathrm{odd}\:\mathrm{and}\:\mathrm{other}\:\mathrm{is}\:\mathrm{even}. \\ $$$$\mathrm{As}\:\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}\:\mathrm{are}\:\mathrm{exchangeable}\:\mathrm{we}\:\mathrm{may} \\ $$$$\mathrm{take}\:\mathrm{any}\:\mathrm{one}\:\mathrm{of}\:\mathrm{these}\:\mathrm{as}\:\mathrm{odd}. \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}\in\mathbb{O}\:,\:\mathrm{y}\in\mathbb{E} \\ $$$$\left(\mathrm{2m}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{2n}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{21}=\mathrm{98}\left(\mathrm{2m}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}\right) \\ $$$$\blacktriangleright\mathrm{8m}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}+\mathrm{6m}\left(\mathrm{2m}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{8n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{21} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{98}\left(\mathrm{2m}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}\right) \\ $$$$\blacktriangleright\mathrm{8m}^{\mathrm{3}} +\mathrm{8n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6m}\left(\mathrm{2m}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{20} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{98}\left(\mathrm{2m}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}\right) \\ $$$$\blacktriangleright\mathrm{4m}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3m}\left(\mathrm{2m}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{10} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{49}\left(\mathrm{2m}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}\right) \\ $$$$\mathrm{49}\left(\mathrm{2m}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}\right)\in\mathbb{E} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4m}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3m}\left(\mathrm{2m}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{10}\in\mathbb{E} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3m}\left(\mathrm{2m}+\mathrm{1}\right)\in\mathbb{E} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{6m}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3m}\in\mathbb{E}\Rightarrow\mathrm{m}\in\mathbb{E} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{2m}+\mathrm{1}=\mathrm{2}\left(\mathrm{2k}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{4k}+\mathrm{1};\mathrm{k}\in\mathbb{W} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{1},\mathrm{5},\mathrm{9},…. \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{1}: \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{7}\left(\mathrm{14}.\mathrm{1}.\mathrm{y}+\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{98y}−\mathrm{20}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{y}−\mathrm{10}\right)\left(\underset{\mathrm{y}\notin\mathbb{N}} {\underbrace{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10y}+\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{10} \\ $$$$\mathrm{Continue} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 20/Oct/21
x^3 + y^3 = 7∙(14xy + 3); x^(?) , y^(?) ∈ Z^+ (x+y_(u) )^3 −3xy_(v) (x+y)=7∙(14xy + 3) u^3 −3uv=7(14v+3) u(u^2 −3v)=7(14v+3) case1:u=7 ∧ u^2 −3v=14v+3 49−3v−14v−3=0 17v=46⇒v∉Z^+ .........(i) case2: u^2 −3v=7 ∧ u=14v+3 (14v+3)^2 −3v=7 196v^2 +84v+9−3v−7=0 196v^2 +81v+2=0 v∉Z^+ ......................(ii) In both possible cases : v∉Z^+ ⇒xy∉Z^+ ⇒x∉Z^+ ∨ y∉Z^+ Solution not possible!
$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{7}\centerdot\left(\mathrm{14xy}\:+\:\mathrm{3}\right);\:\overset{?} {\mathrm{x}}\:,\:\overset{?} {\mathrm{y}}\:\in\:\mathbb{Z}^{+} \\ $$$$\left(\underset{\mathrm{u}} {\underbrace{\mathrm{x}+\mathrm{y}}}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\underset{\mathrm{v}} {\underbrace{\mathrm{xy}}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{7}\centerdot\left(\mathrm{14xy}\:+\:\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3uv}=\mathrm{7}\left(\mathrm{14v}+\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{u}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3v}\right)=\mathrm{7}\left(\mathrm{14v}+\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{case1}:\mathrm{u}=\mathrm{7}\:\wedge\:\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3v}=\mathrm{14v}+\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{49}−\mathrm{3v}−\mathrm{14v}−\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{17v}=\mathrm{46}\Rightarrow\mathrm{v}\notin\mathbb{Z}^{+} ………\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\:\mathrm{case2}:\:\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3v}=\mathrm{7}\:\wedge\:\mathrm{u}=\mathrm{14v}+\mathrm{3} \\ $$$$\left(\mathrm{14v}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3v}=\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{196v}^{\mathrm{2}} +\mathrm{84v}+\mathrm{9}−\mathrm{3v}−\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{196v}^{\mathrm{2}} +\mathrm{81v}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{v}\notin\mathbb{Z}^{+} ………………….\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{In}\:\mathrm{both}\:\mathrm{possible}\:\mathrm{cases}\:: \\ $$$$\mathrm{v}\notin\mathbb{Z}^{+} \Rightarrow\mathrm{xy}\notin\mathbb{Z}^{+} \Rightarrow\mathrm{x}\notin\mathbb{Z}^{+} \:\vee\:\mathrm{y}\notin\mathbb{Z}^{+} \\ $$$$\mathrm{Solution}\:\mathrm{not}\:\mathrm{possible}! \\ $$
Commented by MathSh last updated on 21/Oct/21
Thank you dear Ser, but ans: (1;10) (10;1)
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{Ser},\:\mathrm{but}\:\mathrm{ans}:\:\left(\mathrm{1};\mathrm{10}\right)\:\left(\mathrm{10};\mathrm{1}\right) \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 21/Oct/21
Thank you dear sir^(?) /madam^(?) . Certainly there′s logical error and I′ll think over it.
$$\mathbb{T}\mathrm{hank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{dear}\:\overset{?} {\mathrm{sir}}/\overset{?} {\mathrm{madam}}. \\ $$$$\mathrm{Certainly}\:\mathrm{there}'\mathrm{s}\:\mathrm{logical}\:\mathrm{error}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{I}'\mathrm{ll}\:\mathrm{think}\:\mathrm{over}\:\mathrm{it}. \\ $$$$ \\ $$

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