Question Number 16457 by Tinkutara last updated on 22/Jun/17
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{range}\:\mathrm{of}\:{f}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\:−\:{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by sandy_suhendra last updated on 22/Jun/17
$$\mathrm{y}\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{2y}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}=\mathrm{2y}−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\:\frac{\mathrm{2y}−\mathrm{3}}{\mathrm{y}} \\ $$$$\mathrm{x}\:=\:\sqrt{\frac{\mathrm{2y}−\mathrm{3}}{\mathrm{y}}} \\ $$$$\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\:=\:\sqrt{\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}}} \\ $$$$\mathrm{range}\:\mathrm{of}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{domain}\:\mathrm{of}\:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}}\:\geqslant\:\mathrm{0}\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{0}\:\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}\:\geqslant\:\mathrm{1}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{range}\:\mathrm{of}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\left\{\mathrm{y}\mid\:\mathrm{y}\:<\:\mathrm{0}\:\:\mathrm{or}\:\mathrm{y}\:\geqslant\:\mathrm{1}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right\} \\ $$