Question Number 62452 by Tawa1 last updated on 21/Jun/19
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{remainder}\:\mathrm{when}\:\:\:\mathrm{2014}!\:\:\mathrm{is}\:\mathrm{divisible}\:\mathrm{by}\:\:\mathrm{2017} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 21/Jun/19
$${Wilson}'{s}\:{Theorm}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\left({p}−\mathrm{1}\right)!\equiv−\mathrm{1}\left({mod}\:{p}\right)\::\:{p}\in\mathbb{P} \\ $$$$\:\:\:\because\:\:\:\:\mathrm{2017}\in\mathbb{P} \\ $$$$\:\:\:\:\therefore\:\left(\mathrm{2017}−\mathrm{1}\right)!\equiv−\mathrm{1}\left({mod}\:\mathrm{2017}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2016}!\equiv−\mathrm{1}\left({mod}\:\mathrm{2017}\right)\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2016}!\equiv−\mathrm{1}+\mathrm{2017}=\mathrm{2016}\left({mod}\:\mathrm{2017}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2015}!\equiv\mathrm{1}\left({mod}\:\mathrm{2017}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}\left(\mathrm{2015}!\right)\equiv\mathrm{2}\left({mod}\:\mathrm{2017}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}\left(\mathrm{2015}!\right)\equiv\mathrm{2}−\mathrm{2017}=−\mathrm{2015}\left({mod}\:\mathrm{2017}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}\left(\mathrm{2014}!\right)\equiv−\mathrm{1}\left({mod}\:\mathrm{2017}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}\left(\mathrm{2014}!\right)\equiv−\mathrm{1}+\mathrm{2017}=\mathrm{2016}\left({mod}\:\mathrm{2017}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2014}!\equiv\mathrm{2016}/\mathrm{2}\left({mod}\:\mathrm{2017}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2014}!\equiv\mathrm{1008}\left({mod}\:\mathrm{2017}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{Remainder}\:\mathrm{1008} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 21/Jun/19
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$