Question Number 18968 by chux last updated on 02/Aug/17
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{side}\:\mathrm{lengths}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{triangle} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{side}\:\mathrm{lengths}\:\mathrm{are}\:\mathrm{consecutive}\: \\ $$$$\mathrm{integers},\mathrm{and}\:\mathrm{one}\:\mathrm{of}\:\mathrm{whose}\:\mathrm{angles} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{twice}\:\mathrm{as}\:\mathrm{large}\:\mathrm{as}\:\mathrm{another}. \\ $$
Commented by chux last updated on 02/Aug/17
$$\mathrm{please}\:\mathrm{help} \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 03/Aug/17
$$\mathrm{a}=\mathrm{n}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{b}=\mathrm{n} \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{n}+\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{1}: \\ $$$$\mathrm{A}=\alpha \\ $$$$\mathrm{C}=\mathrm{2}\alpha \\ $$$$\mathrm{B}=\mathrm{180}−\mathrm{3}\alpha \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{A}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{B}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{C}}{\mathrm{c}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\alpha}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}\alpha\right)}{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha\right)}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha\right)}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\mathrm{2cos}\:\alpha=\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}\alpha\right)}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\frac{\mathrm{3}\:\mathrm{sin}\:\alpha−\mathrm{4}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \:\alpha}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\mathrm{3}−\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \:\alpha=\left(\mathrm{2cos}\:\alpha\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}+\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}−\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sides}\:\mathrm{of}\:\mathrm{triangle}\:=\mathrm{4},\mathrm{5},\mathrm{6} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{2}: \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\alpha}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha\right)}{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}\alpha\right)}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha\right)}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\mathrm{2cos}\:\alpha=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}\alpha\right)}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\left(\mathrm{2cos}\:\alpha\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}−\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}+\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}=\mathrm{n}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{2}\:\left(\mathrm{not}\:\mathrm{suitable},\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{a}\:\mathrm{straight}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{3}: \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}\alpha\right)}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{sin}\:\alpha}{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha\right)}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha\right)}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\mathrm{2cos}\:\alpha=\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}\alpha\right)}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\left(\mathrm{2cos}\:\alpha\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}}+\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}=−\mathrm{2}\:<\mathrm{0}\:\left(\mathrm{not}\:\mathrm{suitable}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{4}: \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}\alpha\right)}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha\right)}{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{sin}\:\alpha}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha\right)}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\mathrm{2cos}\:\alpha=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}\alpha\right)}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\left(\mathrm{2cos}\:\alpha\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}=−\mathrm{2}<\mathrm{0}\:\left(\mathrm{not}\:\mathrm{suitable}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{5}: \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha\right)}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{sin}\:\alpha}{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}\alpha\right)}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha\right)}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\mathrm{2cos}\:\alpha=\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}\alpha\right)}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\left(\mathrm{2cos}\:\alpha\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}}+\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{n}=−\mathrm{2}<\mathrm{0}\:\left(\mathrm{not}\:\mathrm{suitable}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{6}: \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha\right)}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}\alpha\right)}{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{sin}\:\alpha}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha\right)}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\mathrm{2cos}\:\alpha=\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}\alpha\right)}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\left(\mathrm{2cos}\:\alpha\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{−\mathrm{4}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}=−\mathrm{5}<\mathrm{0}\:\left(\mathrm{not}\:\mathrm{suitable}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{the}\:\mathrm{only}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}: \\ $$$$\mathrm{4},\mathrm{5},\mathrm{6} \\ $$
Commented by chux last updated on 03/Aug/17
$$\mathrm{but}\:\mathrm{B}=\mathrm{3}\alpha \\ $$
Commented by ajfour last updated on 03/Aug/17
$$\mathrm{The}\:\mathrm{same}\:\mathrm{here}.\:\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{Sir}. \\ $$
Commented by chux last updated on 02/Aug/17
$$\mathrm{wow}…..\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{amazing}! \\ $$$$\mathrm{i}\:\mathrm{m}\:\mathrm{most}\:\mathrm{grateful}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 03/Aug/17
$$\mathrm{since}\:\mathrm{we}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{know}\:\mathrm{which}\:\mathrm{angle}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{as}\:\mathrm{double}\:\mathrm{so}\:\mathrm{large}\:\mathrm{as}\:\mathrm{which}\:\mathrm{other}\:\mathrm{angle}, \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{must}\:\mathrm{try}\:\mathrm{out}\:\mathrm{all}\:\mathrm{6}\:\mathrm{possibilities}: \\ $$$$\mathrm{A}=\alpha,\:\mathrm{B}=\mathrm{2}\alpha,\:\mathrm{C}=\mathrm{180}−\mathrm{3}\alpha \\ $$$$\mathrm{A}=\alpha,\:\mathrm{B}=\mathrm{180}−\mathrm{3}\alpha,\:\mathrm{C}=\mathrm{2}\alpha \\ $$$$\mathrm{A}=\mathrm{2}\alpha,\:\mathrm{B}=\alpha,\:\mathrm{C}=\mathrm{180}−\mathrm{3}\alpha \\ $$$$\mathrm{A}=\mathrm{180}−\mathrm{3}\alpha,\:\mathrm{B}=\alpha,\:\mathrm{C}=\mathrm{2}\alpha \\ $$$$\mathrm{A}=\mathrm{2}\alpha,\:\mathrm{B}=\mathrm{180}−\mathrm{3}\alpha,\:\mathrm{C}=\alpha \\ $$$$\mathrm{A}=\mathrm{180}−\mathrm{3}\alpha,\:\mathrm{B}=\mathrm{2}\alpha,\:\mathrm{C}=\alpha \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{note}:\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{180}−\mathrm{3}\alpha\right)=\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}\alpha\right) \\ $$
Commented by chux last updated on 03/Aug/17
$$\mathrm{i}'\mathrm{ve}\:\mathrm{understood}\:\mathrm{it}\:\mathrm{now}…\:\mathrm{its}\:\mathrm{clear} \\ $$$$\mathrm{sir}. \\ $$
Commented by chux last updated on 04/Aug/17
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{sir} \\ $$