Question Number 84394 by jagoll last updated on 12/Mar/20
$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}\:\leqslant\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{3}\mid\: \\ $$
Commented by john santu last updated on 12/Mar/20
$$\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{x}\:\geqslant\mathrm{3}\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}\:\leqslant\:\mathrm{x}−\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2x}\:\leqslant\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2x}\:\leqslant\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{6}\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7x}+\mathrm{6}\:\geqslant\mathrm{0}\:,\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left\{\mathrm{x}\leqslant\:\mathrm{1}\:\vee\:\mathrm{x}\:\geqslant\:\mathrm{6}\:\right\}\:\wedge\:\mathrm{x}\:\geqslant\:\mathrm{3} \\ $$$$\left.\bullet\right)\:\mathrm{x}\:\geqslant\:\mathrm{6} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{3}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}\:\leqslant\:\mathrm{3}−\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2x}−\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{2x}−\left(−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5x}−\mathrm{6}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\left.\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{6}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}\:\leqslant\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\bullet\right)\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{2}\: \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\:\left(−\infty,\:\mathrm{2}\right)\:\vee\:\left[\:\mathrm{6},\:\infty\right)\: \\ $$
Commented by jagoll last updated on 12/Mar/20
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$