Question Number 117641 by bemath last updated on 13/Oct/20
$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\:\sqrt{\mathrm{6}−\mathrm{x}}\:>\:\mathrm{x}−\mathrm{4} \\ $$
Answered by Don08q last updated on 13/Oct/20
$$\left(\mathrm{6}−{x}\right)\:>\:\left({x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} \:{or}\:\left(\mathrm{6}−{x}\right)\:<\:\left({x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{when}\:\:\mathrm{6}\:−\:{x}\:>\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{16} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{7}{x}\:+\:\mathrm{10}\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left({x}\:−\:\mathrm{5}\right)\left({x}\:−\:\mathrm{2}\right)\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}\:\:<\:{x}\:<\:\:\mathrm{5} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{when}\:\:\mathrm{6}\:−\:{x}\:<\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{16} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{7}{x}\:+\:\mathrm{10}\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left({x}\:−\:\mathrm{5}\right)\left({x}\:−\:\mathrm{2}\right)\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}\:<\:\mathrm{2}\:\:\cup\:\:{x}\:>\:\mathrm{5} \\ $$$$\:{Hence},\:\left\{\mathrm{2}\:<\:{x}\:<\:\mathrm{5}\:\:{or}\:\:{x}\:<\:\mathrm{2}\:\cup\:\:{x}\:>\:\mathrm{5}\right\} \\ $$
Commented by bemath last updated on 13/Oct/20
$$\mathrm{your}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{2}<\mathrm{x}<\mathrm{5}\:?\: \\ $$$$\mathrm{i}\:\mathrm{think}\:\mathrm{it}\:\mathrm{wrong}.\:\mathrm{let}\:\mathrm{substitute} \\ $$$$\mathrm{x}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\:\sqrt{\mathrm{6}−\left(−\mathrm{3}\right)}\:>\:−\mathrm{3}−\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{3}\:>\:−\mathrm{7}\:\mathrm{it}\:\mathrm{true} \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 13/Oct/20
$$\mathrm{x}<\mathrm{5} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 13/Oct/20
$$\:\sqrt{\mathrm{6}−\mathrm{x}}\:>\:\mathrm{x}−\mathrm{4}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{need}\:\mathrm{the}\:\mathrm{condition}\:\mathrm{x}\leqslant\mathrm{6}\:\mathrm{for}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{root}\:\mathrm{is}\:\mathrm{defined}.\mathrm{Then}\: \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{x}<\mathrm{4}\:\mathrm{then}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{true} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{4}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\mathrm{6}\:\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{then} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\left(\mathrm{6}−\mathrm{x}\right)>\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8x}+\mathrm{16} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7x}+\mathrm{10}<\mathrm{0}\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)<\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2}<\mathrm{x}<\mathrm{5}\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{Combining}\:\left(\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{3}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{4}\leqslant\mathrm{x}<\mathrm{5} \\ $$$$\left..\left.\mathrm{Combining}\:\mathrm{i}\right)\mathrm{and}\:\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{solutions} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{given}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{are}\:\mathrm{x}\in\left(−\infty,\mathrm{5}\right) \\ $$