Question Number 32239 by rahul 19 last updated on 22/Mar/18
$$\boldsymbol{{F}}{ind}\:{the}\:{sum}\:{of}\:{the}\:{coefficients} \\ $$$${of}\:{all}\:{the}\:{integral}\:{power}\:{of}\:{x}\:{in}\:{the} \\ $$$${expansion}\:{of}\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}}\right)^{\mathrm{40}} . \\ $$
Answered by MJS last updated on 22/Mar/18
$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}+… \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}}\right)^{\mathrm{4}} =\mathrm{16}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{24}{x}+\mathrm{1}+… \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{{x}}\right)^{\mathrm{6}} =\mathrm{64}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{240}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{60}{x}+\mathrm{1}+… \\ $$$$\left\{\mathrm{4};\mathrm{1}\right\}=\left\{\mathrm{1}×\mathrm{2}^{\mathrm{2}} ;\mathrm{1}×\mathrm{2}^{\mathrm{0}} \right\} \\ $$$$\left\{\mathrm{16};\mathrm{24};\mathrm{1}\right\}=\left\{\mathrm{1}×\mathrm{2}^{\mathrm{4}} ;\mathrm{6}×\mathrm{2}^{\mathrm{2}} ;\mathrm{1}×\mathrm{2}^{\mathrm{0}} \right\} \\ $$$$\left\{\mathrm{64};\mathrm{240};\mathrm{60};\mathrm{1}\right\}= \\ $$$$=\left\{\mathrm{1}×\mathrm{2}^{\mathrm{6}} ;\mathrm{15}×\mathrm{2}^{\mathrm{4}} ;\mathrm{15}×\mathrm{2}^{\mathrm{2}} ;\mathrm{1}×\mathrm{2}^{\mathrm{0}} \right\} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{see}: \\ $$$$\left\{\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{0}}\end{pmatrix}×\mathrm{2}^{{n}} ;\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{2}}\end{pmatrix}×\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} ;\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{4}}\end{pmatrix}×\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{4}} ;…\right\} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{this}\:\mathrm{list}\:\mathrm{is} \\ $$$${S}=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\frac{{n}}{\mathrm{2}}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{2}{k}}\end{pmatrix}×\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}{k}} ;\:\mathrm{with}\:\mathrm{2}\mid{n} \\ $$$${n}=\mathrm{40} \\ $$$$\Rightarrow\:{S}=\mathrm{6}\:\mathrm{078}\:\mathrm{832}\:\mathrm{729}\:\mathrm{528}\:\mathrm{464}\:\mathrm{401} \\ $$