Question Number 145996 by iloveisrael last updated on 10/Jul/21
$$\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\: \\ $$$$\:\mathrm{x}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{5x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{6x}^{\mathrm{6}} +… \\ $$$$\mathrm{where}\:\mid\mathrm{x}\mid\:<\:\mathrm{1} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Jul/21
$$\mathrm{S}\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{S}\left(\mathrm{x}\right)=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{derivation}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\: \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}} \:=\frac{−\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by mr W last updated on 10/Jul/21
$$\:{S}=\mathrm{x}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{5x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{6x}^{\mathrm{6}} +… \\ $$$$\:{xS}=\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{5x}^{\mathrm{6}} +… \\ $$$$\left(\mathrm{1}+{x}\right){S}={x}−{x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{3}} −{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{5}} −{x}^{\mathrm{6}} +… \\ $$$$\left(\mathrm{1}+{x}\right){S}=\frac{{x}}{\mathrm{1}+{x}} \\ $$$$\Rightarrow{S}=\frac{{x}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by qaz last updated on 10/Jul/21
![Σ_(n=1) ^∞ (−1)^(n−1) nx^n =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n (n+1)x^(n+1) =x(yD+1)∣_(y=−x) Σ_(n=0) ^∞ y^n =x(yD+1)∣_(y=−x) (1/(1−y)) =x[(y/((1−y)^2 ))+(1/(1−y))]_(y=−x) =(x/((1+x)^2 ))](https://www.tinkutara.com/question/Q146002.png)
$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{nx}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{x}\left(\mathrm{yD}+\mathrm{1}\right)\mid_{\mathrm{y}=−\mathrm{x}} \underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{y}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\mathrm{x}\left(\mathrm{yD}+\mathrm{1}\right)\mid_{\mathrm{y}=−\mathrm{x}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{y}} \\ $$$$=\mathrm{x}\left[\frac{\mathrm{y}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{y}}\right]_{\mathrm{y}=−\mathrm{x}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Commented by qaz last updated on 10/Jul/21
$$\mathrm{D}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \\ $$$$\mathrm{Dx}−\mathrm{xD}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{xDxD}\centerdot…\centerdot\mathrm{xD}=\left(\mathrm{xD}\right)^{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{Dx}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} =\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\begin{pmatrix}{\mathrm{n}}\\{\mathrm{k}}\end{pmatrix}\left(\mathrm{Dx}\right)^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} \\ $$$$\mathrm{D}^{\mathrm{n}} \mathrm{x}−\mathrm{xD}^{\mathrm{n}} =\mathrm{nD}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$