Question Number 27215 by abdo imad last updated on 03/Jan/18
$${find}\:{the}\:{value}\:{of}\:\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\:\:+\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\:\:. \\ $$
Answered by Giannibo last updated on 03/Jan/18
$$ \\ $$$$ \\ $$$$\underset{−\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\frac{\left(\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right.}{\left(\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\left(\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$\underset{−\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\left(\underset{−\mathrm{u}} {\overset{\mathrm{u}} {\int}}\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}\mathrm{dx}−\underset{−\mathrm{u}} {\overset{\mathrm{u}} {\int}}\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}\mathrm{dx}\right) \\ $$$$=\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{u}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{u}\right)+\mathrm{u}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }−\left(\mathrm{ln}\:\left(\mid\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\mathrm{u}\mid\right)+\mathrm{u}\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\mathrm{ln}\:\left(\mid\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\mathrm{u}\mid\right)+\mathrm{u}\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)\right. \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{0}+\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\left(\mathrm{ln}\:\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)+\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{ln}\:\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\pi−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{ln}\:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}\right)\right) \\ $$
Commented by abdo imad last updated on 05/Jan/18
$$\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \:}\:+\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}\:=\:\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \:\:}\:−\sqrt{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}{−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }\:{dx}…!! \\ $$