Question Number 189132 by Shrinava last updated on 12/Mar/23
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\:\:\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}+\mathrm{e} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system}\:\mathrm{of}\:\mathrm{equations}: \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{13a}+\mathrm{2b}+\mathrm{c}+\mathrm{6d}+\mathrm{2e}=\mathrm{96}}\\{\mathrm{5a}+\mathrm{9b}+\mathrm{2c}+\mathrm{7d}+\mathrm{3e}=\mathrm{75}}\\{\mathrm{7a}+\mathrm{8b}+\mathrm{17c}+\mathrm{11d}+\mathrm{7e}=\mathrm{99}}\\{\mathrm{3a}+\mathrm{3b}+\mathrm{3c}+\mathrm{d}+\mathrm{8e}=\mathrm{55}}\\{\mathrm{a}+\mathrm{7b}+\mathrm{6c}+\mathrm{4d}+\mathrm{9e}=\mathrm{79}}\end{cases} \\ $$
Answered by mr W last updated on 12/Mar/23
$${say}\:{f}={a}+{b}+{c}+{d}+{e} \\ $$$$\Rightarrow\:{a}+{b}+{c}+{d}+{e}−{f}=\mathrm{0}\:\:\:\:\:…\left(\mathrm{6}\right) \\ $$$${D}=\begin{vmatrix}{\mathrm{13}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{6}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{5}}&{\mathrm{9}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{7}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{7}}&{\mathrm{8}}&{\mathrm{17}}&{\mathrm{11}}&{\mathrm{7}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{3}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{8}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{7}}&{\mathrm{6}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{9}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{−\mathrm{1}}\end{vmatrix}=\mathrm{7047} \\ $$$${D}_{{f}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{13}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{6}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{96}}\\{\mathrm{5}}&{\mathrm{9}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{7}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{75}}\\{\mathrm{7}}&{\mathrm{8}}&{\mathrm{17}}&{\mathrm{11}}&{\mathrm{7}}&{\mathrm{99}}\\{\mathrm{3}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{8}}&{\mathrm{55}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{7}}&{\mathrm{6}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{9}}&{\mathrm{79}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{0}}\end{vmatrix}=\mathrm{98172} \\ $$$$\Rightarrow{f}={a}+{b}+{c}+{d}+{e}=\frac{{D}_{{f}} }{{D}}=\frac{\mathrm{98172}}{\mathrm{7047}}=\frac{\mathrm{404}}{\mathrm{29}}\:\checkmark \\ $$
Commented by manxsol last updated on 12/Mar/23
$${I}\:{never}\:{saw}\:{that}\:{artifice}. \\ $$$${today}\:{is}\:{great}! \\ $$
Commented by mr W last updated on 13/Mar/23
$${i}\:{think}\:{this}\:{method}\:{is}\:{better}\:{than} \\ $$$${solving}\:{the}\:\mathrm{5}\:{equations}\:{for}\:{a},{b},{c},{d},{e} \\ $$$${and}\:{then}\:{calculating}\:{a}+{b}+{c}+{d}+{e}. \\ $$
Commented by manxsol last updated on 13/Mar/23
$${i}\:{can}\:{any}\:{relation}\:{between}\:{the}\:{variables}\:{very},{very}\:{good}\:{Sir}\:{W}. \\ $$
Commented by Shrinava last updated on 13/Mar/23
$$\mathrm{thankyou}\:\mathrm{dearProfessor}\:\mathrm{cool} \\ $$