Question Number 31749 by abdo imad last updated on 13/Mar/18
$${find}\:{the}\:{value}\:{of}\:\:\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} \left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)}\:. \\ $$
Commented by abdo imad last updated on 14/Mar/18
$${let}\:{put}\:\:{S}\left({x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{{x}^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)}=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{a}_{{n}} {x}^{{n}} \\ $$$${let}\:{find}\:{the}\:{radius}\:{of}\:{this}\:{serie}\:{we}\:{have} \\ $$$$\frac{{a}_{{n}+\mathrm{1}} }{{a}_{{n}} }\:=\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)}{\left({n}+\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{3}\left\{\right.\right.}\:\Rightarrow\:{lim}_{{n}\rightarrow\infty} \:\frac{{a}_{{n}+\mathrm{1}} }{{a}_{{n}} }\:=\mathrm{1}\:{so}\:{for}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$${the}\:{serie}\:{is}\:{convergent}\:{we}\:{have}\: \\ $$$${S}\left({x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}\right){x}^{{n}} \:\:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\:−\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}+\mathrm{2}} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:−\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\:\frac{{x}^{{n}−\mathrm{2}} }{{n}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\:−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:\left(\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\:−{x}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:\:+\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\:\:{let}\:{put}\:{f}\left({x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}} \\ $$$${f}^{'} \left({x}\right)=\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{x}^{{n}−\mathrm{1}} \:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{x}^{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\:\Rightarrow{f}\left({x}\right)=−{ln}\mid\mathrm{1}−{x}\mid\:+\lambda \\ $$$$\lambda={f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\:\:\Rightarrow\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\:\:\Rightarrow\:{S}\left({x}\right)=\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:−\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right){ln}\mid\mathrm{1}−{x}\mid \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} \left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)}\:={S}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\mathrm{3}\:−\left(\mathrm{3}\:−\mathrm{9}\right){ln}\mid\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mid=\:\mathrm{3}+\mathrm{6}\left({ln}\left(\mathrm{2}\right)−{ln}\left(\mathrm{3}\right)\right)\:\:. \\ $$
Commented by rahul 19 last updated on 14/Mar/18
$${can}\:{u}\:{provide}\:{sol}.\:{for}\:{this}\:{one}\:? \\ $$$${I}\:{tried}\:{as}: \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} }\:{but}\:{could}\:{not}\:{find}\: \\ $$$${any}\:{pattern}\:{further}. \\ $$