find-the-value-of-n-0-1-n-2-1-and-n-0-1-n-n-2-1-

Question Number 42266 by maxmathsup by imad last updated on 21/Aug/18

f i n d t h e v a l u e o f \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} a n d \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1} .

Commented by maxmathsup by imad last updated on 22/Aug/18

w e h a v e p r o v e d t h a t

e^{- ∣ x ∣} = \frac{1 - e^{- π}}{π} + \frac{2}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1 - {(- 1)}^{n} e^{- π}}{n^{2} + 1} c o s (n x)

x = 0 \Rightarrow 1 = \frac{1 - e^{- π}}{π} + \frac{2}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} - \frac{2 e^{- π}}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1} l e t

s = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} a n d w = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1} \Rightarrow

1 - \frac{1 - e^{- π}}{π} = \frac{2}{π} s - \frac{2}{π} e^{- π} w \Rightarrow \frac{π}{2} (\frac{π - 1 + e^{- π}}{π}) = s - e^{- π} w \Rightarrow

s - e^{- π} w = \frac{π - 1 + e^{- π}}{2}

x = π \Rightarrow e^{- π} = \frac{1 - e^{- π}}{π} + \frac{2}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1} - \frac{2 e^{- π}}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} \Rightarrow

e^{- π} - \frac{1 - e^{- π}}{π} = \frac{2}{π} w - \frac{2 e^{- π}}{π} s \Rightarrow \frac{π}{2} (\frac{π e^{- π} - 1 + e^{- π}}{π}) = - 2 e^{- π} s + w \Rightarrow

\frac{π e^{- π} - 1 + e^{- π}}{2} = - 2 e^{- π} s + w w e g e t t h e s y s t e m

s - e^{- π} w = \frac{π - 1 + e^{- π}}{2} a n d - 2 e^{- π} s + w = \frac{(π + 1) e^{- π}}{2} \Rightarrow

- 2 e^{- 2 π} s + e^{- π} w = \frac{(π + 1) e^{- 2 π}}{2} \Rightarrow

(1 - 2 e^{- 2 π}) s = \frac{π - 1 + e^{- π} + (π + 1) e^{- 2 π}}{2} \Rightarrow

s = \frac{π - 1 + e^{- π} + (π + 1) e^{- 2 π}}{2 (1 - 2 e^{- 2 π})} a n d w = \frac{(π + 1) e^{- π}}{2} + 2 e^{- π} s .