find-the-value-of-n-0-n-3-5-n-

Question Number 61937 by Tawa1 last updated on 12/Jun/19

find the value of Σ_(n = 0) ^∞ ((n^3 + 5)/(n!))

$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{n}\:=\:\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{5}}{\mathrm{n}!} \\ $$

Commented by mr W last updated on 12/Jun/19

$${seems}\:{to}\:{be}\:\mathrm{10}{e}. \\ $$$${others}\:{should}\:{prove}. \\ $$

Commented by Tawa1 last updated on 12/Jun/19

$$\mathrm{Yes},\:\:\mathrm{10e}\:\mathrm{is}\:\mathrm{correct},\:\mathrm{but}\:\mathrm{workings}\:\mathrm{sir} \\ $$

Commented by maxmathsup by imad last updated on 12/Jun/19

let S =Σ_(n=0) ^∞ ((n^3 +5)/(n!)) ⇒S =Σ_(n=0) ^∞ (n^3 /(n!)) +5 Σ_(n=0) ^∞ (1/(n!)) we have Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) =e^x with radius R=∞ ⇒Σ_(n=0) ^∞ (1/(n!)) =e Σ_(n=0) ^∞ (n^3 /(n!)) =Σ_(n=1) ^∞ (n^2 /((n−1)!)) =Σ_(n=0) ^∞ (((n+1)^2 )/(n!)) =Σ_(n=0) ^∞ ((n^2 +2n+1)/(n!)) =Σ_(n=1) ^∞ (n/((n−1)!)) +2 Σ_(n=1) ^∞ (1/((n−1)!)) +Σ_(n=0) ^∞ (1/(n!)) =Σ_(n=0) ^∞ ((n+1)/(n!)) +2Σ_(n=0) ^∞ (1/(n!)) +e =Σ_(n=1) ^∞ (1/((n−1)!)) +Σ_(n=0) ^∞ (1/(n!)) +3e =Σ_(n=0) ^∞ (1/(n!)) +4e =5e ⇒ S = 5e +5e =10e .

$${let}\:{S}\:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}}{{n}!}\:\Rightarrow{S}\:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{{n}!}\:+\mathrm{5}\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}!} \\ $$$${we}\:{have}\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}\:={e}^{{x}} \:\:\:{with}\:{radius}\:{R}=\infty\:\Rightarrow\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\:={e} \\ $$$$\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{{n}!}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}\:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{n}!}\:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{{n}!} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{n}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}\:+\mathrm{2}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}!} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}+\mathrm{1}}{{n}!}\:+\mathrm{2}\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\:+{e}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\:+\mathrm{3}{e} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\:+\mathrm{4}{e}\:=\mathrm{5}{e}\:\Rightarrow\:{S}\:=\:\mathrm{5}{e}\:+\mathrm{5}{e}\:=\mathrm{10}{e}\:. \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Commented by Tawa1 last updated on 12/Jun/19

$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$

Commented by maxmathsup by imad last updated on 12/Jun/19

$${you}\:{are}\:{welcome}\:. \\ $$

Answered by mr W last updated on 12/Jun/19

f(x)=Σ_(n=0) ^∞ (((n^3 +5)x^n )/(n!)) =Σ_(n=0) ^∞ ((n^3 x^n )/(n!))+5Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) =Σ_(n=1) ^∞ ((n^2 x^n )/((n−1)!))+5Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) =Σ_(n=0) ^∞ (((n+1)^2 x^(n+1) )/(n!))+5Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) =Σ_(n=0) ^∞ (((n^2 +2n+1)x^(n+1) )/(n!))+5Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) =Σ_(n=0) ^∞ ((n^2 x^(n+1) )/(n!))+2Σ_(n=0) ^∞ ((nx^(n+1) )/(n!))+Σ_(n=0) ^∞ (x^(n+1) /(n!))+5Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) =Σ_(n=1) ^∞ ((nx^(n+1) )/((n−1)!))+2Σ_(n=1) ^∞ (x^(n+1) /((n−1)!))+xΣ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!))+5Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) =Σ_(n=0) ^∞ (((n+1)x^(n+2) )/(n!))+2Σ_(n=0) ^∞ (x^(n+2) /(n!))+(x+5)Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) =Σ_(n=0) ^∞ (((n+1)x^(n+2) )/(n!))+2x^2 Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!))+(x+5)Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) =Σ_(n=0) ^∞ (((n+1)x^(n+2) )/(n!))+(2x^2 +x+5)Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) =Σ_(n=0) ^∞ ((nx^(n+2) )/(n!))+Σ_(n=0) ^∞ (x^(n+2) /(n!))+(2x^2 +x+5)Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) =Σ_(n=1) ^∞ (x^(n+2) /((n−1)!))+x^2 Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!))+(2x^2 +x+5)Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) =Σ_(n=0) ^∞ (x^(n+3) /(n!))+(3x^2 +x+5)Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) =x^3 Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!))+(3x^2 +x+5)Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) =(x^3 +3x^2 +x+5)Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) =(x^3 +3x^2 +x+5)e^x ⇒Σ_(n=0) ^∞ (((n^3 +5)x^n )/(n!))=(x^3 +3x^2 +x+5)e^x with x=1: ⇒Σ_(n=0) ^∞ ((n^3 +5)/(n!))=(1^3 +3×1^2 +1+5)e^1 =10e with x=2: ⇒Σ_(n=0) ^∞ ((2^n (n^3 +5))/(n!))=(2^3 +3×2^2 +2+5)e^2 =27e^2 with x=(1/2): ⇒Σ_(n=0) ^∞ (((n^3 +5))/(n!2^n ))=((1/2^3 )+3×(1/2^2 )+(1/2)+5)e^(1/2) =((51(√e))/8)

$${f}\left({x}\right)=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left({n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}\right){x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{3}} {x}^{{n}} }{{n}!}+\mathrm{5}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} {x}^{{n}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}+\mathrm{5}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} {x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}!}+\mathrm{5}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right){x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}!}+\mathrm{5}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} {x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}!}+\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{nx}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}!}+\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}!}+\mathrm{5}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{nx}^{{n}+\mathrm{1}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}+\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}+{x}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}+\mathrm{5}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right){x}^{{n}+\mathrm{2}} }{{n}!}+\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}+\mathrm{2}} }{{n}!}+\left({x}+\mathrm{5}\right)\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right){x}^{{n}+\mathrm{2}} }{{n}!}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}+\left({x}+\mathrm{5}\right)\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right){x}^{{n}+\mathrm{2}} }{{n}!}+\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{5}\right)\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{nx}^{{n}+\mathrm{2}} }{{n}!}+\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}+\mathrm{2}} }{{n}!}+\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{5}\right)\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}+\mathrm{2}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}+{x}^{\mathrm{2}} \underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}+\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{5}\right)\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}+\mathrm{3}} }{{n}!}+\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{5}\right)\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$={x}^{\mathrm{3}} \underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}+\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{5}\right)\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$=\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{5}\right)\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$=\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{5}\right){e}^{{x}} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left({n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}\right){x}^{{n}} }{{n}!}=\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{5}\right){e}^{{x}} \\ $$$${with}\:{x}=\mathrm{1}: \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}}{{n}!}=\left(\mathrm{1}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}×\mathrm{1}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\mathrm{5}\right){e}^{\mathrm{1}} =\mathrm{10}{e} \\ $$$$ \\ $$$${with}\:{x}=\mathrm{2}: \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}^{{n}} \left({n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}\right)}{{n}!}=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}×\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}+\mathrm{5}\right){e}^{\mathrm{2}} =\mathrm{27}{e}^{\mathrm{2}} \\ $$$${with}\:{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}: \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left({n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}\right)}{{n}!\mathrm{2}^{{n}} }=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+\mathrm{3}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{5}\right){e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} =\frac{\mathrm{51}\sqrt{{e}}}{\mathrm{8}} \\ $$

Commented by mr W last updated on 12/Jun/19