Question Number 37339 by math khazana by abdo last updated on 12/Jun/18
$${find}\:{the}\:{value}\:{of}\:\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\mathrm{2}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3}^{\mathrm{3}} \:+…+{n}^{\mathrm{3}} } \\ $$
Commented by math khazana by abdo last updated on 13/Jun/18
$${we}\:{know}\:{that}\:\mathrm{1}\:+\mathrm{2}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3}^{\mathrm{3}\:} \:+….+{n}^{\mathrm{3}} \:=\frac{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3}^{\mathrm{3}} \:+…+{n}^{\mathrm{3}} }\:=\:\frac{\mathrm{4}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${let}\:{find}\:{a}\:{and}\:{from}\:{R}\:/ \\ $$$$\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{{a}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:\:+\frac{{b}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:={F}\left({n}\right) \\ $$$${a}\:={lim}_{{n}\rightarrow\mathrm{0}} {n}^{\mathrm{2}} {F}\left({n}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${b}\:={lim}_{{n}\rightarrow−\mathrm{1}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} {F}\left({n}\right)=\:−\mathrm{1}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{4}\:\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{4}\left\{\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right\}\:\:{we}\:{have} \\ $$$${S}\:={lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:{S}_{{n}} \:\:\:/ \\ $$$${S}_{{n}} =\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\:\frac{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3}^{\mathrm{3}} \:+…+{k}^{\mathrm{3}} } \\ $$$${S}_{{n}} =\mathrm{4}\:\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:−\mathrm{4}\:\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:{but} \\ $$$${S}_{{n}} =\mathrm{4}\:\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)\:−\mathrm{4}\:\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}+\mathrm{1}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{4}\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)\:−\mathrm{4}\left\{\:\xi_{{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)\:−\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\mathrm{4}\:\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)\:−\mathrm{4}\xi_{{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)\:+\mathrm{4} \\ $$$${lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)\:=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$${lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \xi_{{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)\:=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:\Rightarrow{lim}_{{n}\rightarrow\infty} {S}_{{n}} =\mathrm{4} \\ $$$${so}\:\:\:{S}\:=\mathrm{4} \\ $$$${let}\:{remind}\:{that}\:\xi_{{n}} \left({x}\right)=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{{x}} }\:.\left({x}>\mathrm{1}\right)\: \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$