Question Number 45963 by maxmathsup by imad last updated on 19/Oct/18
$${find}\:{the}\:{value}\:{of}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{{n}}{\left(\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:. \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 23/Oct/18
$${let}\:{decompose}\:{F}\left({n}\right)=\frac{{n}}{\left(\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow{F}\left({x}\right)=\frac{{n}}{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left\{\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right\}\:\Rightarrow\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{n}}{\left(\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:{but} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}} \\ $$$$\Rightarrow\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\:−\mathrm{1}\:\:{and}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=_{{n}={k}+\mathrm{1}} \sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\:\Rightarrow\:{S}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left\{\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\:+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\:−\mathrm{1}\right\}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left\{\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}−\mathrm{1}\right\}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{32}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:. \\ $$$$ \\ $$
Answered by Smail last updated on 22/Oct/18
$${A}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}}{\left(\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}}{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{{n}}{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right. \\ $$$${A}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}\right)^{\mathrm{2}} }−\left(\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }−\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$