Question Number 13166 by tawa tawa last updated on 15/May/17
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\:\mathrm{x}\:\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{y} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2xy}\:−\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{14}\:\:\:\:\:\:\:\:\:…………\:\:\mathrm{equation}\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{3xy}\:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:=\:−\:\mathrm{2}\:\:\:\:\:…………\:\mathrm{equation}\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$
Answered by RasheedSindhi last updated on 16/May/17
$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2xy}\:−\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{14}\:\:\:\:\:\:\:\:\:…..\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{3xy}\:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:=\:−\:\mathrm{2}\:\:\:\:\:…\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)×\mathrm{1}:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2xy}\:−\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{14}\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)×\mathrm{7}:\:\mathrm{14x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{21xy}\:+\:\mathrm{7y}^{\mathrm{2}} \:=\:−\mathrm{14} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)×\mathrm{1}\:+\:\left(\mathrm{ii}\right)×\mathrm{7}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{15x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{19xy}+\mathrm{6y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{3x}+\mathrm{2y}\right)\left(\mathrm{5x}+\mathrm{3y}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{y}\:\:\mid\:\:\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{y}\:\wedge\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2xy}\:−\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{14} \\ $$$$\:\:\:\Rightarrow\left(−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{y}\right)\mathrm{y}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{14} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{4y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{126} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{7y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{126}\Rightarrow\mathrm{y}=\pm\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\pm\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}\right)=\mp\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\mathrm{y}\:\wedge\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2xy}\:−\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{14} \\ $$$$\:\:\:\Rightarrow\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\mathrm{y}\right)\mathrm{y}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{14} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{9y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{30y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{25y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{350} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{14y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{350}\Rightarrow\mathrm{y}=\pm\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\left(\pm\mathrm{5}\right)=\mp\mathrm{3} \\ $$$$\left\{\left(\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}},\mp\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}\right),\left(\pm\mathrm{3},\mp\mathrm{5}\right)\right\} \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 16/May/17
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$
Answered by b.e.h.i.8.3.4.1.7@gmail.com last updated on 16/May/17
$$\left(\frac{{x}}{{y}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\frac{{x}}{{y}}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{14}}{{y}^{\mathrm{2}} }……..\left({A}\right) \\ $$$$\mathrm{2}\left(\frac{{x}}{{y}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\frac{{x}}{{y}}+\mathrm{1}=\frac{−\mathrm{2}}{{y}^{\mathrm{2}} }…….\left({B}\right)\Rightarrow\left(\frac{{x}}{{y}}={t}\right)\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{15}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{19}{t}+\mathrm{6}=\mathrm{0}\Rightarrow{t}=\frac{−\mathrm{19}\pm\sqrt{\mathrm{19}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}×\mathrm{15}}}{\mathrm{2}×\mathrm{15}} \\ $$$${t}=\frac{−\mathrm{19}\pm\mathrm{1}}{\mathrm{30}}=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}},−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\frac{{x}}{{y}}=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{x}\right)−\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{x}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{14} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{14}\Rightarrow{x}=\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}},{y}=\mp\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\frac{{x}}{{y}}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}\left(−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}{x}\right)−\left(−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}{x}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{14} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{9}+\mathrm{30}−\mathrm{25}}{\mathrm{9}}{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{14}\Rightarrow{x}=\pm\mathrm{3},{y}=\mp\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\left({x},{y}\right)=\left(\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}},\mp\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}\right),\left(\pm\mathrm{3},\mp\mathrm{5}\right)\:.\blacksquare \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 16/May/17
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\: \\ $$$$\mathrm{please}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{How}\:\mathrm{did}\:\mathrm{you}\:\mathrm{get}.\:\:\:\mathrm{15t}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{19t}\:+\:\mathrm{6}\:=\:\mathrm{0} \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 16/May/17
$$\mathrm{have}\:\mathrm{seen}\:\mathrm{it}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{you}\:\mathrm{continue}\:.. \\ $$
Commented by b.e.h.i.8.3.4.1.7@gmail.com last updated on 16/May/17
$${A}+\mathrm{7}{B}=\mathrm{15}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{19}{t}+\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 16/May/17
$$\mathrm{I}\:\mathrm{understand}\:\mathrm{now}\:\mathrm{sir}. \\ $$$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$