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find-U-n-0-e-nx-2-x-2-n-2-dx-n-1-nature-of-U-n-and-nU-n-




Question Number 147203 by mathmax by abdo last updated on 18/Jul/21
find U_n =∫_0 ^∞  (e^(−nx^2 ) /(x^2  +n^2 ))dx     (n≥1)  nature of ΣU_n  and Σ nU_n
$$\mathrm{find}\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\:\:\:\:\left(\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{nature}\:\mathrm{of}\:\Sigma\mathrm{U}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{and}\:\Sigma\:\mathrm{nU}_{\mathrm{n}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 23/Jul/21
U_n =∫_0 ^∞  (e^(−nx^2 ) /(x^2 +n^2 ))dx =_(x=nt)   ∫_0 ^∞ (e^(−n^3 t^2 ) /(n^2 (t^2  +1)))dt  =(1/n^2 )∫_0 ^∞   (∫_0 ^∞  e^(−(t^2 +1)x) dx)e^(−n^3 t^2 ) dt  =(1/n^2 )∫_0 ^∞ (∫_0 ^∞    e^(−(x+n^3 )t^2 ) dt)e^(−x)  dx  =_((√(x+n^3 ))t=z)    (1/n^2 )∫_0 ^∞ (∫_(√x) ^∞   e^(−z^2 ) (dz/( (√(x+n^3 )))))e^(−x)  dx  =(1/n^2 )∫_0 ^∞ (((λ_0 erf((√x)))/( (√(x+n^3 )))))e^(−x)  dx...be continued...
$$\mathrm{U}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{x}=\mathrm{nt}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \mathrm{t}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}+\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dt}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=_{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }\mathrm{t}=\mathrm{z}} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\int_{\sqrt{\mathrm{x}}} ^{\infty} \:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } \frac{\mathrm{dz}}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\lambda_{\mathrm{0}} \mathrm{erf}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}…\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$

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