Question Number 147203 by mathmax by abdo last updated on 18/Jul/21
$$\mathrm{find}\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\:\:\:\:\left(\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{nature}\:\mathrm{of}\:\Sigma\mathrm{U}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{and}\:\Sigma\:\mathrm{nU}_{\mathrm{n}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 23/Jul/21
$$\mathrm{U}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{x}=\mathrm{nt}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \mathrm{t}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}+\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dt}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=_{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }\mathrm{t}=\mathrm{z}} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\int_{\sqrt{\mathrm{x}}} ^{\infty} \:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } \frac{\mathrm{dz}}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\lambda_{\mathrm{0}} \mathrm{erf}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}…\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$