Question Number 53470 by maxmathsup by imad last updated on 22/Jan/19
$${find}\:\:{Vn}=\int_{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} ^{\frac{{an}−\mathrm{1}}{{n}}} \:\frac{\sqrt{{x}}}{\:\sqrt{{a}−\sqrt{{x}}+{x}}}{dx} \\ $$$$ \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 24/Jan/19
$${changement}\:\sqrt{{x}}={t}\:{give}\:{x}={t}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow{dx}\:=\mathrm{2}{tdt}\:{and} \\ $$$${V}_{{n}} =\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}}}} ^{\sqrt{\frac{{an}−\mathrm{1}}{{n}}}} \:\:\frac{{t}}{\:\sqrt{{a}−{t}+{t}^{\mathrm{2}} }}\:\left(\mathrm{2}{t}\right){dt}\:=\mathrm{2}\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}}}} ^{\sqrt{\frac{{an}−\mathrm{1}}{{n}}}} \:\:\:\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+{a}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}}{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}}}} ^{\sqrt{\frac{{an}−\mathrm{1}}{{n}}}} \:\:\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{\left({t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}}\:\:\:{let}\:{suppose}\:{a}>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow \\ $$$${V}_{{n}} =_{{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}{u}} \:\:\:\:\:\:\mathrm{2}\int_{\frac{\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{{n}}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}} ^{\frac{\mathrm{2}\sqrt{\frac{{an}−\mathrm{1}}{{n}}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}} \:\:\:\frac{\left(\frac{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}{u}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }{\frac{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }}\:\frac{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}\:{du} \\ $$$$=\:\mathrm{2}\:\int_{\frac{\mathrm{2}−\sqrt{{n}}}{\:\sqrt{{n}}\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}} ^{\frac{\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}−\sqrt{{n}}\right.}{\:\sqrt{{n}}\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\frac{\left(\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}\right){u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}{u}\:+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }}\:{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\alpha_{{n}} } ^{\beta_{{n}} } \:\:\:\frac{\left(\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}\right){u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}{u}\:+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }}\:{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\alpha_{{n}} } ^{\beta_{{n}} } \:\:\:\frac{{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\:−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }}\:+\:\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}\int_{\alpha_{{n}} } ^{\beta_{{n}} } \:\:\frac{{u}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }}\:{du}\:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\alpha_{{n}} } ^{\beta_{{n}} } \:\:\frac{{du}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\int_{\alpha_{{n}} } ^{\beta_{{n}} } \:\:\frac{{du}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }}\:=\left[{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\left.\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right]_{\alpha_{{n}} } ^{\beta_{{n}} } }={ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\beta_{{n}} ^{\mathrm{2}} }\right)−{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\alpha_{{n}} ^{\mathrm{2}} }\right)\right.\right. \\ $$$$\int_{\alpha_{{n}} } ^{\beta_{{n}} } \:\:\:\frac{{u}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }}\:{du}\:=\left[\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }\right]_{\alpha_{{n}} } ^{\beta_{{n}} } \:=\sqrt{\mathrm{1}+\beta_{{n}} ^{\mathrm{2}} }−\sqrt{\mathrm{1}+\alpha_{{n}} ^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\int_{\alpha_{{n}} } ^{\beta_{{n}} } \:\:\:\frac{{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }}\:{du}\:=\int_{\alpha_{{n}} } ^{\beta_{{n}} } \sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }{du}\:−\int_{\alpha_{{n}} } ^{\beta_{{n}} } \:\:\frac{{du}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }}\:=….. \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$